《精准解析》湖南省常德市2022-2023学年高三上学期期末数学试题（解析版）

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2022—2023 学年度上学期常德市高三检测考试
数学（题卷）
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
命题人：佘智辉（桃源一中）熊彬（澧县一中）谌兴明（芷兰实验学校）张国平（市教科
院）
注意事项：
1．所有试题的答案请在答题卡的指定区域内作答．
2．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求 ,再应用交集运算,得出 即可.
【详解】因为 ,所以
所以
故选: .
2. 已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点所在的象限为（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】由题知 ，再根据复数的几何意义求解即可.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以，复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，在第一象限.
故选：A
3. 已知向量 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量的概念直接求解即可.
【详解】解：因为 满足 ，且 ，
所以 ，向量 在向量 上的投影向量为
故选：D
4. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个
圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知
一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时 80 分钟．设经过 t分钟沙漏上方圆锥中的沙子
的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等（假定沙堆的底面是水平的），则 t的值为（）
A. 10 B. 20 C. 60 D. 70
【答案】D
【解析】
【分析】上方圆锥的空白部分就是下方圆锥中的沙子部分，且上方沙漏中沙子的高度为一个沙漏的高的一
半，进而计算下方沙漏沙子的体积，计算即可.
【详解】解：因为沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等
所以上方圆锥的空白部分就是下方圆锥中的沙子部分，且上方沙漏中沙子的高度为一个沙漏的高的一半，
所以可以单独研究上方圆锥，其高度为一个圆锥的一半，沙子形成的圆面的半径为圆锥底面圆半径的一半，
设圆锥的高为 ，底面半径为 ，
则上方沙子的体积为 ，
所以，上方此时剩的沙子占总沙子的 ，下方圆锥中的沙子占总沙子的
因为一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时 80 分钟，
所以，当 的沙子从一个沙漏中漏到另一个沙漏中，需要 分钟，
所以，经过 分钟沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等
故选：D
5. 在平面直角坐标系中，已知点 为角 终边上的点，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数定义得 ，再根据二倍角公式计算即可.
【详解】解：因为点 为角 终边上的点，
所以，由三角函数的定义知 ，
所以
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