黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试 数学 PDF版含解析（可编辑）

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2024-2025 学年度高一上学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1. 命题
: 2p x 
，
20x
，则
p
是（ ）
A.
2x 
，
20x
B.
2x 
，
20x
C
.
2x 
，
20x
D.
2x 
，
20x
2. 已知集合
，
 
2
| logN y y x 
，则
M N
（ ）
A.
(0,1]
B.
(0, 2]
C.
( ,1]
D.
[1, )
3. 若函数
2, 0
( ) 25, 0
x x
f x x x
x
 
，则
[ ( 1)]f f  
（ ）
A.
2
B. 2 C.
4
D. 4
4. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A.
2
1y x 
B.
2
ln( 1 )y x x  
C.
1
22
x
x
y 
D.
ex
y x 
5. 函数
2
ln(1 )
( )
2 7 3
x
f x
x x
 
的定义域为（ ）
A.
1
( ,1)
2
B.
1
[ ,1)
2
C.
1
[ ,1]
2
D.
1
( ,1]
2
6. 幂函数
 
 
23 3 m
f x m m x  
在区间
 
0,
上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A.
4m
B.
4m
或
1m 
C.
 
f x
是奇函数 D.
 
f x
是偶函数
7. 已知函数
 
2
2
1
f x x x
 
，则不等式
 
2 1 1f x f x 
的解集为（ ）
A.
0, 2
B.
 
0, 2
C.
1 1
0, , 2
2 2
 
 
 
D.
1 1
0, , 2
2 2
 
 
 
 
8. 已知
,x y
为正实数，且
1x y 
，则
3 2 1x y
xy
 
的最小值为（ ）
A.
4 3 7
B.
2 2 3
C.
4 2
D.
6
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二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 给 定 函 数
( ) 2f x x 
，
( )g x x
， 对 于
Rx 
， 用
( )M x
表 示
( )f x
，
( )g x
中 的 最 大 者 ，记 为
   
 
( ) max ,M x f x g x
，下列关于函数
( )M x
的说法正确的是（ ）
A. 函数
( )M x
是偶函数 B. 函数
( )M x
的最大值是
2
C. 函数
( )M x
在
 
0,1
递增 D. 函数
( )M x
有四个单调区间
10. 已知函数
 
2
lg , 0
2 1, 0
x x
f x x x x
 
， 若
   
F x f x k 
有四个不同的零点
1
x
，
2
x
，
3
x
，
4
x
且
1 2 3 4
x x x x  
，则下列说法正确的是（ ）
A.
0 1k 
B.
1 2 2x x  
C.
3 4 1x x 
D.
3 4 10x x 
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三
大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数
x
，符号 表示不超过
x
的最大整数，则称为高斯函数，
例如
 
e 2
，
 
1.8 2  
，定义函数
 
 
f x x x 
，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数
 
f x
无最大值 B. 函数
 
f x
的最小值为
1
C. 函数
 
f x
在
( 2, 1) 
上递增 D.
 
1f x f x 
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12. 函数
2
1
2
( ) log ( 4)f x x= -
的
单调递增区间为________．
13. 若不等式
21 0ax ax+ - <
对一切
Rx
恒成立，则实数
a
的取值范围是____________ ．
14. 矩形
ABCD
（
AB AD
）的周长为
24
，把
ABCV
沿
AC
向
ADC△
折叠，
AB
折过去后交
CD
于点
P
.当
AB
______________时，三角形
ADP
的面积最大，最大值为_______________ ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算下列各式的值：
（1）
2
0 0.5 3
1 1 16 1
2022 9 64
2 1
  
 
  
  
（2）
7
log 2
4
3
log 27 lg 25 lg 4 7  
.
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16. 设
0a
且
1a
，函数
 
log 1 log (3 )
a a
y x x  
的图像过点
 
1, 2
．
（1）求
a
的
值及函数的定义域；
（2）求函数在区间
3
0, 2
 
 
 
上的最大值．
17. 如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系，2024 年上半年新能源汽
车销售 469 万辆，同比增长 29.7%.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产 x
（千辆）获利
( )W x
（万元），关系如下：
2
75( 3),0 2
( ) 750 , 2 6
1
x x
W x xx
x
 
 
，该公司预计 2024 年全年其他成本总投入为
30x
万元.由市场
调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024 年的全年利润为
( )f x
（单位：万元）.
（1）求函数
( )f x
的
解析式；
（2）当 2024 年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由.
18. 已知函数
 
4 1 2 1
x x
f x m  
.
（1）若
0m
，求
 
f x
在区间
 
1, 2
上的值域；
（2）若方程
 
2 0f x  
有实根，求实数 m的取值范围；
（3）设函数
 
2
2 4 1
1
2
x x
g x
 
 
 
 
，若对任意的
 
11, 2x 
，总存在
 
20,3x
，使得
 
1 2
f x g x
，求实数 m的取
值范围.
19. 对于函数
 
,y f x x I 
，若存在
0
x I
，使得
 
0 0
f x x
，则称
0
x
为函数
 
y f x
的“不动点”;若存在
0
x I
，
使得
 
 
0 0
f f x x
，则称
0
x
为函数
 
y f x
的“稳定点”.记函数
( )y f x
的“不动点”和“稳定点”的集合分别为
A
和
B
，即
 
( ) ,A x f x x 
 
( ( ))B x f f x x 
．
（1）设函数
( ) 2 1f x x 
，求
A
和
B
；
（2）证明：若
( )f x
为连续的单调函数，则
A B
；
（3）若
 
2R, Rf x x a x a 
，存在
a
，使得
A
B
，求实数
a
的取值范围．
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