广西“贵百河—武鸣高中”2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 参考答案

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2023 级“贵百河—武鸣高中”11 月高二年级新高考月考测试
数 学 参考答案
一、单项选择题（本大题共 8 题，每小题 5 分，共计 40 分。每小题列出的四个选项中只有一项是
最符合题目要求的）
1.已知直线
l
过原点且与直线
7x+3y−
1=0 垂直，求直线
l
一个方向向量是（ ）
A.
¿
) B.
¿
) C.
¿
) D.
¿
)
解：由题可知，直线
过原点
(0，0)
与直线
7x+3y−
1=0 垂直，则直线
l
的斜率为
3
7
，所以直线
l
的方
程为
3x − 7y
=0，故其中一个方向向量
n=(7，3)
.【答案】D
2.设向量
a=(3,2, m)
，
b=(−1,2,1)
，若
a⊥b
，则
m=¿
（ ）
A．
2
B．
1
C．
−1
D．
−2
【答案】C
【详解】因为
a⊥b
，可得
a ∙ b=−3+4+m=0
,解之可得
m=−1.
故选：C
3.已知点
A(2, −1,0)
，
B(1,− 1,− 1)
，向量
a=( 1
2,1,1)
，求向量
⃗
BA 与a
夹角的余弦值（ ）
A.
−❑
√
2
B.
❑
√
2
2
C.
1
2
D.
−
❑
√
2
2
解：由题可知点
⃗
BA
=
(1,0,1)
，所以 cos<
⃗
BA
,
a
>=
⃗
BA ∙ a
|
⃗
BA
|
∙
|
a
|
=
1
2+1
❑
√
2×❑
√
9
4
=
❑
√
2
2
，故选 B.
4.设直线的方程为
❑
√
3 cos θ ∙ x − y +¿
7=0
(
θ∈R
)
，则直线
l
的倾斜角
α
的取值范围（ ）
A.
[
0，π
3
]
B.
[
π
3，2π
3
]
C.
(
− ∞ ，π
3
]
∪
[
2π
3，π
)
D.
[
0，π
3
]
∪
[
2π
3，π
)
解 ： 根据题意，直线的斜率为
k=❑
√
3cosθ ∈
[
−❑
√
3,❑
√
3
]
，由此得
tan α∈
[
−❑
√
3,❑
√
3
]
；又因为
α∈
[
0，π
)
，所以结合正切函数的单调性，可得
α∈
[
0，π
3
]
∪
[
2π
3，π
)
,
故选 D．
5.2024 年10 月22 日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，
成功将天平三号
A(01)、B(01)、B(02)
卫星发射升空，卫星顺利进入预
定轨道，发射任务获得圆满成功。该卫星主要用于地面雷达设备标校和
RCS
测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测
量和轨道预报模型修正提供服务。假设天平三号
A(01)
卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦
点的椭圆，已知地球的直径约为 1.3 万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约 1.35 万千米，
运动至远地点距离地球表面高度约 3.35 万千米,求天平三号
A(01)
卫星运行的轨迹方程可为（ ）
A.
x2
9+y2
8=1
B.
x2
9+y2
16 =1
C.
x2
1.352+y2
3.352=1
D.
x2
3.52+y2
1.22=1
解：根据椭圆的定义，设长轴长为 2a，焦距为 2c；由题可知，1.35+1.3+3.35=2a，则 a =3 万千米；
因为天平三号 A(01)卫星，运动至近地点距离地球表面高度约 1.35 万千米，地球半径为 r=0.65 万
千米，因此
a − c=2, c则=1
万千米；因此
b2=a2−c2=32−12=8
；所以椭圆的方程为
x2
9+y2
8=1
.答案：A.
6. 如右图，在直三棱柱
ABC − A ' B ' C '
中 ，
∠ABC =90 °，AB=BC=BB'=1，E、F
分别为
A ' B' ，AB
的中点，则直线
FC 到平面
AEC '
的距离为（ ）
A.
❑
√
2
2
B.
❑
√
6
6
C.
−
❑
√
6
6
D.
−
❑
√
3
2
解：在直三棱柱
ABC − A ' B ' C '
中，
∠ABC=90 °
，如图所示，建立空间直角
坐标系，
因为
AB=BC=BB '=1
，E、F分别为
A ' B' ，AB
的中点，则
A(0,1,1)
，
B(0,0,1)
，
E(0,1
2,0)
，
F(0,1
2,1)
，
C ' (1,0,0)
，所以
⃗
AE=(0, − 1
2, −1)
，
⃗
EC '=(1, − 1
2,0)
，
⃗
AF=(0,− 1
2,0)
设平面
AEC '
的法向量为
n=(x , y , z)
，则
{
n ∙
⃗
AE=0；
n ∙
⃗
EC '=0.
即
{
−1
2y− z=0；
x − 1
2y=0.
取
z=−1
，则
y=2
，
x=¿
1.
所以
n=(1,2 , −1)
是平面
AEC '
的一个法向量.又因为
⃗
AF=(0,− 1
2,0)
，
所以点 F到平面
AEC '
的距离为
|
⃗
AF ∙ n
|
|
n
|
=
|
0+(−1)+0
|
❑
√
6=❑
√
6
6
.答案：B.
7.若双曲线
y2
n2−x2
2=1(n>0)
的渐近线与已知圆
O:x2+y2−4y+3=0
相切，则
n=¿
（ ）
A．
❑
√
6
B．
❑
√
3
C．
❑
√
2
D．
1
【答案】A 双曲线
y2
n2−x2
2=1(n>0)
的渐近线为
y=±n x
❑
√
2
，即
n x ± ❑
√
2y=0
，
不妨取
n x +❑
√
2y=0
，圆
x2+y2−4y+3=0
，即
x2+
(
y − 2
)
2=1
，所以圆心为
(
0,2
)
，半径
r=1
，
依题意圆心
(
0,2
)
到渐近线
n x ± ❑
√
2y=0
的距离
d=
|
2❑
√
2
)
❑
√
n2+2
=1
，
解得
n=❑
√
6
或
n=−❑
√
6
（舍去）．故答案为：
n=❑
√
6
.
8.设
λ∈R
，过定点 M的动直线
λ x +y=0
和过定点 N的动直线
x − λ y +λ+3=0
交于点
Q(x，y)
，则
|
QM
|
+
|
QN
|
的最大值是（）
A．
❑
√
5
B．
2❑
√
5
C．
❑
√
10
D．
2❑
√
10
【答案】B
【详解】对于动直线
λ x +y=0
可知其过定点
M(0，0)
，动直线
x − λ y +λ+3=0
，
即
x+3− λ (y − 1)=0
，可知其过定点
N(−3，1)
，且
1× λ+λ ×(−1)=0
，
因此两条动直线相互垂直，可知点 Q的轨迹是以
MN
为直径的圆，且
|
MN
|
=❑
√
10
，
若点 Q与M或N重合，则
|
QN
|
+
|
QM
|
=0+
|
MN
|
=❑
√
10
；
若点 Q与M，N不重合，设
∠QMN=θ∈(0,π
2)
，则
|
QM
|
=❑
√
10 cos θ ,
|
QN
|
=❑
√
10 sin θ ,
可得
|
QM
|
+
|
QN
|
=❑
√
10 cos θ+❑
√
10 sin θ=2❑
√
5 sin(θ+π
4)
，
因为
θ∈(0,π
2)
，则
θ+π
4∈(π
4,3π
4)
,可得
sin(θ+π
4)∈¿,
所以当
sin(θ+π
4)=1
时，
|
QM
|
+
|
QN
|
有最大值，即最大值为
2❑
√
5
.
二、多项选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9．直线 的方向向量为
a
，平面
α
的法向量
n
，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若
a⊥n
，则直线
l/¿平面 α
B．若
a/¿n
，则直线
l⊥平面 α
C．若
cos <a，n>¿1
2
，则直线 与平面 所成角的大小为
π
3
广西“贵百河—武鸣高中”2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 参考答案.docx

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