2023年高考考前押题密卷数学试题（天津卷）数学（天津卷）（参考答案）

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2023 年高考考前押题密卷
数学·参考答案
一、选择题（本题共 9小题，每小题 5分，共 45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．）
123456789
A B A C C C A D C
二､填空题：（本题共 6小题，每小题 5分，共 30 分。试题中包含两个空的，答对 1个的给 3分，
全部答对的给 5分。）
10、一 11、36 12、4 13、 14、 15、，．
三、解答题（本题共 5小题，共 75 分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）
16．（14 分）
【详解】（1）在 中，由正弦定理
可得： ，整理得 ，...............................2 分
由余弦定理，可得 ；...............................4 分
（2）（i）由（1）可得 ，又由正弦定理 ，
及已知 ，可得 ，...............................6 分
由已知 ，可得 ，故有 ，
为锐角，可得 ， ，...............................8 分
则 ；...............................9 分
（ii）由（i）可得 ， ,...............................11 分
................................14 分
17．（15 分）
【详解】（1）由 为正三棱柱可知， 平面 ，
又 平面 ，所以 ，...............................1 分
由底面是边长为 2的正三角形，D为AB 的中点，所以 ；...............................2 分
又 ， 平面 ，所以 平面 ；...............................3 分
又 平面 ，所以 ；...............................4 分
（2）取线段 的中点分别为 ，连接 ，
易知 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直
角坐标系 ，如下图所示;
由侧棱长为 ，底面边长为 2可得，
，...............................6 分
由D为AB 的中点可得 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ；
即 ；...............................8 分
易得 即为平面 的一个法向量，
所以 ，...............................9 分
设二面角 的平面角为 ，由图可知 为锐角，
所以 ，即 ；
即二面角 的大小为 ................................10 分
（3）由（2）可知 ，平面 的一个法向量为 ，......................12 分
设直线 CA 与平面 所成的角为 ，
所以 ，...............................15 分
即直线 CA 与平面 所成角的正弦值为 .
18．（15 分）
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