黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 Word版含答案

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2023 级高二学年上学期期中考试
数 学 试 题
考试时间: 120 分钟 分值: 150 分
命题人：邢紫莉 审题人：孙宏波
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 直线.
x+❑
√
3y+2=0
的倾斜角为( )
A.π/6 B.π/3
C . 2π
3
D . 5π
6
2. 已知条件 p: m>2, 条件 q: 点 P(1,m)在圆:
x²+y²=5
外, 则 p 是 q 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若双曲线
x2
9−y2
11 =1
的右支上一点 P 到右焦点的距离为 9，则 P 到左焦点的距离为( )
A. 3 B. 12 C. 15 D. 3 或 15
4. 已 知 椭 圆
C:x2
20 +y2
4=1
的 两 焦 点 分 别 为 F₁， F₂， P 为 椭 圆 C 上 一 点 且 .PF ⊥PF ,₁ ₂ 则
¿PF ₁∨−¿PF ₂∨¿
( )
B.4 ❑
√
6
C.4 ❑
√
5
D. 2
5. 在椭圆
x2
16 +y2
9=1
中，以点
M
(
2,3
2
)
为中点的弦所在的直线方程为 ( )
A. x-2y+1=0 B. 3x-4y=0 C. 3x+4y-12=0 D. 8x-6y-25=0
6. 如图，某种地砖 ABCD 的图案由一个正方形和 4 条抛物线构成，体
现了数学的对称美.
C₁:y²=2px , C ₂:x²=−2py , C ₃:y²=−2px ,
C₄:x²=2py , p>0,
已知正方形 ABCD 的面积为 64, 连接 C , C₁ ₂ 的焦点
F , F , ₁ ₂ 线段 F F₁ ₂ 分别交 C , C₁ ₂ 于点 G, H,则|GH|的值为( )
A.10−5❑
√
2
B.8−5❑
√
2
C.3+❑
√
2
D.1+❑
√
2
7. 如图，已知椭圆 E
:x2
a2+y2
b2=1
(
a
⟩
b>0¿
的左、右焦点分别为 F₁，F₂，过点 F₂的直线与
椭圆 E 交于点 A，B.直线 l 为椭圆 E 在点 A 处的切线，点 B 关于 l 的对称点为 M.由椭
圆 的 光 学 性 质 知 ， F₁， A, M 三 点 共 线 . 若
¿AB∨¿a , ¿B F1∨¿
¿M F1∨¿=4
5,¿
¿
则
¿B F2∨¿
¿A F1∨¿=()¿¿
A . 1
9
B . 2
11
C . 9
11
D . 13
15
8. 已知 F₁，F₂是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q 是它们的两个公共点，且 P，Q 关
于 原 点 对 称 ，
∠P F2Q=2π
3,
若 椭 圆 的 离 心率 为 e₁， 双 曲 线 的 离 心 率 为 e₂， 则
e1
2
e1
2+1+3e2
2
e2
2+3
的最小值是( )
A . 2+❑
√
3
3
B . 1+❑
√
3
3
C . 2❑
√
3
3
D . 4❑
√
3
3
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 若动点 P 到定点 F(-4，0)的距离与到直线 x=4 的距离相等，则 P 点的轨迹不可能
是( )
A. 抛物线 B. 线段 C. 直线 D. 射线
10. 设双曲线
E:x2
a2−y2
b2=1
(
a
⟩
0, b>0¿
的左焦点为 F₁，右焦点为 F₂，点 P 在 E 的右支上，
且不与 E 的顶点重合，则下列命题中正确的是 ( )
A. 若 a=3 且 b=2，则双曲线 E 的两条渐近线的方程是
y=±3
2x
B. 若
PF ₁⊥PF ₂,
则
△F₁PF ₂
的面积等于 b²
C. 若点 P的坐标为(
(
2,4 ❑
√
2
)
,
则双曲线 E的离心率大于 3
D. 以PF₂为直径的圆与以 E的实轴为直径的圆外切
11. 已知曲线
M:❑
√
x2+
(
y−❑
√
3
)
2+❑
√
x2+
(
y+❑
√
3
)
2=4,
曲线
N:x=5−❑
√
1−y2,
下列结论正确的是(
)
A. M 与 N 有 4 条公切线
B. 若 A,B 分别是 M,N 上的动点, 则|AB|的最小值是 3
C. 直线
y=1
3
(
x−4
)
与 M，N 的交点的横坐标之积为
−80
37
D. 若 A(x,y)(y≠0)是 M 上的动点, 则
¿y
x+1∨+¿4y
x−1∨¿
的最小值为 8
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知抛物线方程为
4y=x²,
则抛物线的准线方程为 .
13. 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用
太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆
(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为 8，则以两个小圆的圆
心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴
长是 .
14. 如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆. 许多人从纯几何的角度出发对这
个问题进行过研究, 其中比利时数学家 Germinal dandelin(1794-1847) 的方法非常巧妙, 极
具创造性. 在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分
别与截面相切于 E，F，在截口曲线上任取一点 A，过 A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于
C，B，由球和圆的几何性质, 可以知道, AE=AC, AF=AB, 于是 AE+AF=AB+AC=BC. 由 B, C 的产
生方法可知, 它们之间的距离 BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以 E，F 为焦点的椭圆.
如图②，一个半径为 2 的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源 P，则球在桌面上的投影是椭圆.
已知
A₁A₂
是椭圆的长轴，
PA ₁
垂直于桌面且与球相切，
PA ₁=5,
则椭圆的离心率为 .
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