2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（上海专用，沪教版2020选修一全册）02（全解全析）

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2023-2024 学年上学期期末模拟考试

高二数学

（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）

注意事项：

1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共 21 题。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上。

2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在

答题纸上，在试卷上作答一律不得分．

3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．

4．测试范围：（沪教版 2020 选修一）。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一．填空题（共 12 小题，满分 54 分）

1．（4分）已知 m∈R，动直线 l1：x+my 2﹣＝0过定点 A，动直线 l2：mx﹣y2﹣m+3＝0过定点 B，若 l1与

l2交于点 P（异于点 A，B），则|PA|+|PB|的最大值为　　．

【分析】先确定两条动直线恒过的定点坐标，然后判断两条直线的位置关系，利用勾股定理结合不等式

进行分析求解即可．

【解答】解：l1：x+my 2﹣＝0可变形为（x2﹣）+my＝0，令 y＝0，则 x＝2，

故动直线 l1：x+my 2﹣＝0过定点 A（2，0），

l2：mx﹣y2﹣m+3＝0可变形为 m（x2﹣）﹣（y3﹣）＝0，令 x＝2，则 y＝3，

故动直线 l2：mx﹣y2﹣m+3＝0过定点 B（2，3），

又1•m+m•（﹣1）＝0，所以直线 l1与直线 l2垂直，

则有 PA⊥PB，且|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝9，

所以，

即|PA|+|PB|≤ ，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，

所以|PA|+|PB|的最大值为．

故答案为：．

【点评】本题考查了直线恒过定点问题以及直线与直线位置关系的判断，同时考查了利用基本不等式求

解最值问题，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．

2．（4分）若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．　错

误　（判断对错）

【分析】根据直线的位置关系判断即可．

【解答】解：若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，

则这两条直线不一定垂直，

故答案为：错误．

【点评】本题考查了直线的位置关系，是基础题．

3．（4分）已知数列{an}为等差数列，数列{an}的前 5项和 S5＝20，a5＝6，则 a10＝　 11

　．

【分析】根据已知条件，运用等差数列的通项公式和前 n项和公式，即可求解．

【解答】解：∵{an}为等差数列，

∴S5＝5a3＝20，

∴a3＝4，

∵a5＝6，a3＝4，

∴2d＝a5﹣a3＝6 4﹣＝2，即 d＝1，

∴a10＝a5+5d＝6+5＝11．

故答案为：11．

【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意通项公式的合理运用，

属于基础题．

4．（4分）若等差数列{an}中，a6＝3，{an}的前 n项和为 Sn，则 S11＝　 33

　．

【分析】根据题意，由等差数列的前 n项和公式分析可得 S11＝＝11a6，计算即可得答

案．

【解答】解：根据题意，在等差数列{an}中，S11＝＝＝11a6＝33，

故答案为：33．

【点评】本题考查等差数列的前 n项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．

5．（4分）已知直线 l1：mx﹣y3﹣m+1＝0与直线 l2：x+my 3﹣m1﹣＝0相交于点 P，线段 AB 是圆 C：

（x+1）2+（y+1）2＝4的一条动弦，且，则的最大值为　 8

　．

【分析】由已知得到 l1⊥l2，l1过定点（3，1），l2过定点（1，3），从而得到点 P轨迹为圆（x2﹣）2+

（y2﹣）2＝2，设圆心为 C2，半径为 r2，作垂直线段 CD⊥AB，求得 CD＝1，设圆 C的半径为 r1，求得|

|的最大值，再由| + |＝2| |得答案．

【解答】解：设 P（x，y），

直线 l1：mx﹣y3﹣m+1＝0与l2：x+my 3﹣m1﹣＝0垂直

又l1过定点 E（3，1），l2过定点 F（1，3），

则PE⊥PF，即 • ＝（3﹣x，1﹣y）•（1﹣x，3﹣y）＝0，

整理得 P轨迹为圆（x2﹣）2+（y2﹣）2＝2，

设圆 C半径为 r1，P点轨迹圆的圆心为 C2（2，2），半径为 r2，

作CD⊥AB，则 CD＝＝＝1，

根据垂径定理可知 D为AB 中点，因此| + ＝2，

则只需| |最大即可，即当 C2、P、D、C四点共线即可，

此时| ||＝|CC2|+|CD|+r2＝3 +1+ ＝4 +1，

则| + |的最大值为 8 +2．

故答案为：8 +2．

【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质，考查向量模的最值的求法，理解题意是关键，是中档题．

6．（4分）在数列{an}，{bn}中，，，且，记数列{bn}的前 n项

和为 Sn，且，则数列{an•bn}的最小值为　　．

【分析】可由题意构建为等差数列，求出 an通项公式，{bn}可由 Sn﹣Sn1﹣得出 bn的通项公式，

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