陕西省宝鸡实验高级中学2024届高三上学期12月联考 理数答案

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理科
1
2024 届高三联考数学（理科）
参考答案
一． 选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
10
11
12
答案
C
B
A
C
C
A
B
B
A
C
D
二、填空题
13．
22
14．3 15．
21
n
an=+
16．
4 ln 2+
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
17. （本小题满分 12 分）
设函数
2
2
( ) cos(2 ) sin
24
f x x x
= + +
（1）求函数
()fx
在区间

[- , ]
12 3
上的最大值和最小值；
（2）设函数
()gx
对任意
xR
，有
( ) ( )
2
g x g x
+=
，且当
[0, ]
2
x
时，
1
( ) ( )
2
g x f x=−
；
求函数
()gx
在
[ ,0]
−
上的解析式.
解析：（1）由已知
2
2
( ) cos(2 ) sin
24
2 1 cos2 1 1
cos2 cos sin2 sin ) sin2
2 4 4 2 2 2
f x x x
x
x x x

= + +
−
= + = − +（-
..........2分
又因为

x [- , ]
12 3
则
2

2x [- , ]
63
所以
1
sin2 1x[- ,]
2
，即
min max
3
( ) ( ) ( ) ( ) 0f x f f x f

= = = =-，
12 4 4
所以函数
()fx
在区间

[- , ]
12 3
上的最大值和最小值分别为
3
4
和0. ..........6分
（2）由
( ) ( )
2
g x g x
+=
可知函数
()gx
最小正周期为
2
，
{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}
理科
2
又由（1）可知
1
( ) sin 2
2
g x x=
（
[0, ]
2
x
）.........7分
当
[ 0]
2
x
− ，
时，
[0 ]
22
x

+，
则
11
( ) sin2( ) sin2
2 2 2 2
g x x x

+ = + = −
由
( ) ( )
2
g x g x
+=
知
11
( ) sin 2( ) sin2
2 2 2
g x x x
= + = −
..........9分
当
[ , )
2
x
 − −
时，
[0 )
2
x
+，
则
11
( ) sin2( ) sin2
22
g x x x

+ = + =
由
( ) ( )g x g x
+=
知
1
( ) sin 2
2
g x x=
..........11 分
综上，
1sin2 ( 0)
22
() 1sin2 ( )
22
xx
gx
xx
− −  
=
−  −
..........12 分
18. （本小题满分 12 分）
2023 年10 月17 日至 18 日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，此会的胜利召开进一
步促进了国内产品走出国门.某工厂要为“一带一路”沿线某国生产一批内径为
28.50mm
的一种零件，为
了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂的 1000 个零件中抽出 50 个，测得其内径尺寸（单位：
mm
）
如下：
28.51 8
，
28.52 6
，
28.50 4
，
28.48 11
28.49 p
，
28.54 1
，
28.53 7
，
28.47 q
这里用
xn
表示有
n
个尺寸为
mmx
的零件，
,pq
均为正整数．若从这 50 个零件中随机抽取 1个，则这
个零件的内径尺寸小于
28.49mm
的概率为
8
25
．
（1）求
,pq
的值．
（2）已知这 50 个零件内径尺寸的平均数为
mmx
，标准差为
mms
，且
0.02s=
，在某次抽检中，若抽
取的零件中至少有
80%
的零件内径尺寸在
,x s x s

−+

内，则称本次抽检的零件合格．试问这次抽检的
零件是否合格？说明你的理由．
{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}
理科
3
解：（1）依题意可得
8 6 4 11 1 7 50,
0
811 ,
5 25
pq
q
+ + + + + + + =
+=
解得
8,
5.
p
q
=
=
..........5分
（2）将每个数据都减去 28.50 后所得新数据的平均数为
( ) ( ) ( )
10.01 8 0.02 6 0 4 0.02 11 0.01 8 0.04 1 0.03 7 0.03 5 0
50 
+ + + − + − + + + − =

，
所以
0 28.50 28.50x= + =
，..........7分
所以
28.48, 28.52s x sx − = + =
，
所以这 60 个零件内径尺寸在
,x s x s

−+

内的个数为 50-1-7-5=37. ..........10 分
因为
37 40 0.8
50 50
=
，所以这次抽检的零件不合格．..........12 分
19.（本小题满分 12 分）
如图，在底面
ABCD
为矩形的四棱锥
P ABCD
−
中，平面
PAD ⊥
平面
PCD
．
(1)证明：
⊥AB
平面
PAD
(2)若
,23,10 == PDPB
,3=AD
1=AB
，
E
在棱
AD
上，且
3AD AE=
，求
PE
与平面
PBD
所成角的
正弦值．
解：(1)过点 A作 AH⊥PD 垂足为 H
∵平面 PAD⊥平面 PCD,平面 PAD∩平面 PCD=PD
又AH
面PAD, AH⊥PD ∴AH⊥平面 PCD.…3 分
又∵CD
平面 PCD ∴AH⊥CD
∵AB//CD ∴AB⊥AH ∵ AB⊥AD, AH∩AD=A ∴AB⊥平面 PAD ..........6分
(2)由(1)知AB⊥平面 PAD,∴AB⊥PA
{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}
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