山东省德州市2023-2024学年高一下学期期中考试 数学 含答案

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高一数学试题
2024.4
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1-2 页，第Ⅱ卷 3-4 页，
共150 分，测试时间 120 分钟．
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．
第Ⅰ卷 选择题（共 58 分）
一、选择题（本题共 8个小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的．）
1．设 ，向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．2 B．C．D．
2．已知复数 满足 （i是虚数单位），则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．已知 ，且 ， ，则 （ ）
A．B．C．D．
4．在 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 ， ， ，则 的
面积是（ ）
A．B．C．D．
5．若 ，则 与 的夹角是（ ）
A．B．C．D．
6．在 中， ， 边上的两条中线 AM，BN 相交于点 ，则 的余弦
值是（ ）
A．B．C．D．
7，数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距
离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理，设点
O，G，H分别为三角形 的外心，重心，垂心，则（ ）
A．B．
C．D．
8．在锐角 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 ， ，则 的
取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．）
9．设 为非零复数（i是虚数单位），下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 为正实数 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 为纯虚数
10．下列命题中正确的是（ ）
A．若 是单位向量，则
B．若 ，则存在唯一的实数 ，使得
C．若向量 和 ，满足 ， ，则
D．若向量 ， ，则 在 方向上投影的数量是
11．在 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，以下命题中正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则符合条件的三角形有两个
B．若 ，则 为等腰或直角三角形
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ， ， 边上的高为 1，则符合条件的三角形有两个
第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分）
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分）
12．已知 ， ，则 ___________．
13．若 为 的外心，且 ，则 ___________．
14．在 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，满足 ，
，且 ，则 ___________；若在线段 AB 上存在动点 使得
，则 xy 的最大值为___________．（第一空 2分，第二空 3分）
四、解答题（本题共 5小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．）
15．（本小题满分 13 分）
已知 为三角形的一个内角，i为虚数单位，复数 ，且 在复平面上对应的点在实轴
上．
（1）求 ；
（2）设 ， 在复平面上对应的点分别为 A，B，C，求 的面积．
16．（本小题满分 15 分）
已知平面上三点 A，B，C，且 ， ， ．
（1）若 A，B，C不构成三角形，求实数 应满足的条件；
（2）若 为针角三角形，求 的取值范围．
17．（本小题满分 15 分）
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