（教研室提供）山东省威海市2023-2024学年高三上学期期末考试 数学答案

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高三数学参考答案
一、选择题：每小题 5分，共 40 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A C D C D B
二、选择题（每小题 5分，全部选对得 5分，部分选对得 2分，有选错的得 0分）。
题号 9 10 11 12
答案 AC ABD BD ACD
三、填空题：每小题 5分，共 20 分。
题号 13 14 15 16
答案
四、解答题：
17.（10 分）
解：（1）因为 ，
所以 ，-------------------------------------------------------------------2 分
可得 ，-------------------------------------------------------------------------------3 分
因为 ，所以 . ------------------------------------------------------------------5 分
（2）由余弦定理可知 ，
即
，---------------------------------------------------------------------------6 分
因为 ，所以 ，--------------------------------------------------7 分
所以 ，可得 ，----------------------------------9 分
当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为 . ----------------------10 分
18.（12 分）
法一：（1）证明：在线段 上取点 使得 ，
连接 ， ，
由 ， ，可得 ，
所以 ，所以 .---------------------------------------------------------2 分
又 ， ，
所以四边形 为平行四边形，--------------------------------------------------------3 分
所以 .
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，---------------------------------------------------------------5 分
因为 平面 ，
所以 平面 .-------------------------------------------------------------------------6 分
(或在 上取点 使得 ，连接 ， ，证明 亦可.）
（2）因为四边形 为矩形，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，又 ，
所以 ， ， 两两垂直. -------------------------------------------------------------7 分
以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则， ，，，
所以 ， ， ，------------------------8 分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，可得 ，
令 ，则 ； ----------------------------------------------------9 分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，可得 ，
令 ，则 .----------------------------------------------------------10 分
因为 ，--------------------------------------------------------11 分
所以平面 与平面 所成角的正弦值为 . -----------------------------------12 分
法二：（1）证明：因为四边形 为矩形，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，又 ，
所以 ， ， 两两垂直.--------------------------------------------------------------1 分
以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，---------------------------------------------------------2 分
则 ，设 ，可得 ，-----------------------------3 分
又平面 的一个法向量为 ，---------------------------------------------4 分
可得 ，又 平面 ，
所以 平面 .-------------------------------------------------------------------------6 分
（2）若 ，则 ，
又，，
所以 ， ， ，------------------------8 分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，可得 ，
令 ，则 ； ----------------------------------------------------9 分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，可得 ，
令 ，则 .----------------------------------------------------------10 分
因为 ，--------------------------------------------------------11 分
所以平面 与平面 所成角的正弦值为 . -----------------------------------12 分
19.（12 分）
解：（1）设等差数列 的公差为 ，
当 时， ，-------------------------------------------------------------1 分
当 时， ，
得， ，
所以 ，---------------------------------------------------3 分
因为 ，所以 ， ，
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