江苏省南通市海安高级中学2024届高三下学期第二次模拟考试 数学 含答案

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江苏省南通市海安高级中学 2023-2024 学年高三下学期第二次模拟考
试数学试题
一、选择题:本大题共 8小题,每小题 5分,共40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。
1.已知复数 (其中 为虚数单位, ).若 是纯虚数,则 （ ）
A.-4 B.-1 C.1 D.4
2.直线 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.有6名男教师和 5名女教师,从中选出 2名男教师、1名女教师组成一个支教小组,则不同的选法共有( )
A.60 种B.70 种C.75 种D.150 种
4.已知等差数列 的前 项和为 ,且,则 是 中的( )
A.第28 项B.第29 项C.第30 项D.第32 项
5.在 中,已知 ,则“ ”是“ ”成立的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要
6.已知双曲线 ,直线 .双曲线 上的点 到直线 的距离最小,则点 的横坐
标为( )
A. B. C. D.
7.若命题:“ ,使得 ”为假命题,则a,b的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8.设实数 满足 ,则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.-1
二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得 6分,部分选对得部分分,有选错的得 0分.
9.下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为( )
A.方差 B.平均数 C.中位数 D.众数
10.已知不等式 对任意 恒成立,其中 是整数,则 的取值可以为( )
A.-4 B.-2 C.0 D.8
11.直线 与抛物线 相交于 两点,过 两点分别作该抛物线的切线,与直线
均交于点 ,则下列选项正确的是( )
A.直线 过定点 B. 两点的纵坐标之和的最小值为 2p
C.存在某一条直线 ,使得 为直角
D.设点 在直线 上的射影为 ,则直线 FH 斜率的取值范围是
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共15 分.
12.已知集合 ,则___________.
13.设 若 ,则___________.
14.在长方体 中,分别是棱 的中点,则平面 CEF 截
该长方体所得的截面为___________边形,截面面积为___________.
四、解答题:本题共 5小题,共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)如图,在四棱锥 中,已知棱 AB,AD,AP 两两垂直,长度分别为 1,2,2,若,且向量
与 夹角的余弦值为 .
(1)求实数 的值;
(2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值.
16.（15 分）已知向量 .设.
(1)求函数 的单调递增区间;
(2)在 中,若 的平分线交 BC 于点 ,求AD 长.
17.(15 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 的离心率为 分别是椭圆的
左、右焦点,过 作两条互相垂直的直线 ,直线 与 交于 A,B两点,直线 与 交于 D,E两点,且
的周长是 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)当 时,求 的面积.
18.(17 分)设函数 .
(1)若,求函数 的单调区间;
(2)若,试判断函数 在区间 内的极值点的个数,并说明理由;
(3)求证:对任意的正数 ,都存在实数 ,满足:对任意的 .
19.(17 分)“踩高跷,猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统,发展“地推经济”,在元
宵节举办形式多样的猜灯谜活动.
(1)某商户借“灯谜”活动促销,将灯谜按难易度分为 B、C两类,抽到较易的类并答对购物打八折优惠,抽
到稍难的类并答对购物打七折优惠.抽取灯谜规则如下:在一不透明的纸箱中有 8张完全相同的卡片,其中
3张写有 字母,3 张写有 字母,2 张写有 字母,顾客每次不放回从箱中随机取出 1张卡片,若抽到写有
的卡片,则再抽 1次,直至取到写有 或 卡片为止.求该顾客取到写有 卡片的概率.
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜,规定只能取一次,并且只可以向前走,不能回头,他在街道上一共会遇到
条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同）,最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等,小明准备采
用如下策略:不摘前 条灯谜,自第 条开始,只要发现比他前面见过的灯谜适合的,就摘这条灯
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