江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试 数学 含答案

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常州市第一中学 2023-2024 学年第二学期期中阶段调研
高二数学试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.已知
⃗
a
=（2，-1,3），
⃗
b
=（-4，y，2），且
⃗
a⊥（
⃗
a+
⃗
b）
，则 y的值为（）
A．6 B．
10
C．12 D．14
2．已知向量
⃗
a=
(
1,0 , −1
)
，则下列向量中与
⃗
a
成
60∘
夹角的是（）
A．
B．
(
1,− 1,0
)
C．
(
2, −2,0
)
D．
(
−2,2,0
)
3．在函数
y=xln x
，
y=cos x
，
y=2x
，
y=x − ln x
中，导函数值不可能取到 1的是（）
A．
y=xln x
B．
y=cos x
C．
y=2x
D．
y=x − ln x
4．在空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=1，
⃑
AB ⋅
⃑
CD+
⃑
AC ⋅
⃑
DB+
⃑
AD ⋅
⃑
BC
＝（）
A．－1 B．0
C．1 D．不确定
5．当
x=1
时，函数
f(x)=aln x+b
x
取得最大值
−2
，则
f′(2)=¿
（）
A．
−1
B．
−1
2
C．
1
2
D．1
6.如图，在平行六面体 ABCD-A’B’C’D’中，AB=5，AD=3，AA’=7，
∠BAA '=∠
DAA’=45
°
，则 AC’的
长为（）
A．
25698
B．
C．
❑
√
89+56 ❑
√
2
D．
❑
√
89 −56 ❑
√
2
7．已知
f
(
x
)
是定义在 R上的奇函数，
f()
的导函数为
f'
(
x
)
，若
f'
(
x
)
≥cos x
恒成立，则
f
(
x
)
≥sin x
的解
集为（）
A．
[
−π,+∞
)
B．
[
π,+∞
)
C．
[
π
2,+∞
)
D．
[
0,+∞
)
8．如图，在正方体
ABCD− A1B1C1D1
中，点 O为线段 BD 的中点．设点
P
在线段
C C1
上，直线
OP
与
平面
A1BD
所成的角为
α
，则
cos α
的取值范围是（）
A．
[
❑
√
3
3，1
)
B．
[
❑
√
6
3，1
)
C．
[
0，
❑
√
6
3
)
D．
[
0，
❑
√
3
3
)
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得 5 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．设空间两个单位向量
⃗
OA =
(
m , n ,0
)
,
⃗
OB=
(
0, n , p
)
与向量
⃗
OC=
(
1,1,1
)
的夹角都等于
π
4
，则
cos ∠AOB=¿
（）
A．
2+❑
√
3
4
B．
1+❑
√
3
4
C．
2−❑
√
3
4
D．
1−❑
√
3
4
10．已知
f
(
x
)
=x
ex
，下列说法正确的是（）
A．
f
(
x
)
在
x=1
处的切线方程为
e y −1=0
B．单调递减区间为
(
1,+∞
)
C．
f
(
x
)
的极小值为
1
e
D．方程 2024
f
(
x
)
=1
有两个不同的解
11．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的《高等数学》与《数学分析》教材中，对
“初等函数”给出了明确的定义，即初等函数是指由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算与有限
次的复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，如函数
f(x)=xx(x>0)
，我们可以作变形：
f
(
x
)
=xx=eln xx=exln x=et,(t=xln x)
，所以
f(x)
可看作是由函数
ℎ(t)=et
和
t=xln x
复合而成的，即
f(x)=xx(x>0)
为初等函数．根据以上材料，关于初等函数
ℎ(x)=x
1
x(x>0)
的说法正确的是（）
A．无极小值 B．有极小值 1
C．无极大值 D．有极大值
e
1
e
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知向量
⃗
a=(0,− 1,1),
⃗
b=(4,1,0)，∨λ
⃗
a+
⃗
b∨¿❑
√
29
，则
λ=¿
.
13．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平
行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为
2
，
A A1
，
B B1
，
C C1
，
D D1
均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为
1
和
2
，对应的圆心角为
90 °
，则图中异面直线
A B1
与
C D1
所成角的余弦值为．
14．若关于
x
的不等式
(
e−1
) (
ln a+x
)
≥ a ex−1
在
x∈
[
0,1
)
内有解，则实数
a
的取值范围是．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分 13 分）
已知函数
f(x)=x3+a x2−b x +a2
，在
x=1
时取得极小值 10.
(1)求函数
f(x)
的解析式;
(2)求函数
f(x)
在区间
[−1,3]
上的最值.
16．（本小题满分 15 分）
如图，直三棱柱
ABC − A1B1C1
内接于圆柱，
A C 为圆柱底面的直径
，
AB=A A1=BC=2
，M为
A1C1
中点，N为
C C1
中点，
(1)求直线 BM 与平面
A1BC
所成角的正弦值
(2)若求平面
A1BC
与平面
BMN
所成锐二面角的余弦值．
17．（本小题满分 15 分）
已知函数
f(x)=ex− ax −1(a∈R)
.
(1)若
a
为常数，求曲线
y=f(x)
在点
(1, f (1))
处的切线方程；
(2)讨论函数
f(x)
的单调性；
(3)判断
e0.314
与1.314 的大小关系，并说明理由.
18．（本小题满分 17 分）
如图所示，在四棱锥
P − ABCD
中，侧面
PAD ⊥
平面
ABCD
，
△PAD
是边长为
2
的等边三角形，底面
ABCD
为直角梯形，其中
BC // AD
，
AB⊥AD
，
AB=BC=1
.
(1)取线段
PA
中点
M
连接
BM
,判断直线
BM
与平面
PCD
是否平行并说明理由.
(2)求
B
到平面
PCD
的距离；
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