江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试 数学 含解析

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常州市第一中学 2023-2024 学年第一学期期末质量调研
高二数学试卷
（时间：120 分钟 页数：共 6 页 满分 150 分）
出卷人：程庆保 审卷人：姬成双 2024 年 1 月
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 （）
A．155 B．165 C．290 D．310
2．若有以下两个命题：命题甲： 成等比数列；命题乙： ．则命题甲是乙的（）．
A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3．求与直线 平行且将圆 的周长平分的直线方程为（）
A．B．
C．D．
4．已知双曲线 的两条渐近线均和圆 相切，且双曲线的右焦点为
圆 的圆心，则该双曲线的方程为
A．B．C．D．
5．“五一”假期将至，腾冲又将迎来今年的新一轮旅游热潮．腾冲某旅行社适时推出了“火山热海”、
“和顺古镇”、“叠水河畔”、“湿地荷韵”和“佤寨风光”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“火山
热海”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条
线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（）
A．720 种B．360 种C．320 种D．288 种
6．已知等比数列 各项均为正数，且满足： ， ，记 ，则使
得 的最小正数 n为（）
A．36 B．35 C．34 D．33
7．数列 共有 12 项，其中 ， ， ，且 ，则满足这种条件的不
同数列的个数为
A．84 B．168 C．76 D．152
8．双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 作垂直于 轴的直线交双曲线于 两点，
的内切圆圆心分别为 ，则 的面积是（）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．已知 为曲线 上一动点，则（）
A． 的最小值为
B．存在一个定点和一条定直线，使得 P到定点的距离等于 P到定直线的距离
C． 到直线 距离的最小值小于
D． 的最小值为 6
10．下列说法正确的是（）
A．用 0，1，2，3，4能组成 48 个不同的 3位数.
B．将 10 个团员指标分到 3个班，每班要求至少得 2个，有 15 种分配方法.
C．小明去书店看了 4本不同的书，想借回去至少 1本，有 16 种方法.
D．甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡，四人互送贺卡，每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺卡，
有9种不同的方法.
11．1979 年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5 只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成 5等
份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里 1只猴子偷偷爬起来,先吃掉 1个桃子,然后将其分成 5等份,藏起自己
的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉 1个桃子后,也将桃子分成 5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以
后的 3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是()
A．若第n只猴子分得 个桃子(不含吃的),则
B．若第n只猴子连吃带分共得到 个桃子,则 为等比数列
C．若最初有 个桃子,则第只猴子分得 个桃子(不含吃的)
D．若最初有 个桃子,则 必有 的倍数
12．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦
点.现椭圆 的焦点在 轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为 、 .一束光线从 射出，经椭圆镜
面反射至 ，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为 ，左顶点和上顶点分别为 .则下列说法正
确的是（）
A．椭圆的标准方程为
B．若点 在椭圆上，则 的最大值为
C．若点 在椭圆上， 的最大值为
D．过直线 上一点 分别作椭圆的切线，交椭圆于 ， 两点，则直线 恒过定点
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知点 是椭圆 的两个焦点，横坐标为 4的点 在椭圆 上，则 的周长为
．
14．已知数列 满足 （ ），则 取最小值为.
15．已知点 ，若圆 上存在点 ，使得线段的中点也在圆 上，则实数 的取值范
围是.
16．我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为 的 个
球的口袋中取出 个球，共有 种取法.在 种取法中，不取 号球有 种取法；
取 号球有 种取法.所以.试运用此方法，写出如下等式的结果：
.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知二项式.
（1）当时，求二项式展开式中各系数的和；
（2）若二项式展开式中第9项，第10 项，第11 项的二项式系数和成等差数列，且二项展开式中存在常数
项，求 的值.
18．我国自改革开放以来，生活越来越好，肥胖问题也日渐显著，为思路引导肥胖程度对总胆固醇与空腹
血糖的影响，在肥胖人群中随机抽出8人，他们的肥胖指数 值、总胆固醇 指标值单位: )、
空腹血糖 指标值(单位: )如下表所示：
人员编号 12345678
BMI 值x25 27 30 32 33 35 40 42
TC 指标值 y5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.5 6.9 7.1
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