江苏省2023—2024学年高三上学期期末迎考卷 数学答案
江苏省 2023-2024 学年高三上学期期末迎考卷
数学参考答案与评分标准
1. C
解析:因为 A={20,24},B={20,23},所以 A∪B={20,23,24},则A∪B中的合数为 20 和24.
2. A
解析:z=cos
2π
3
-
❑
√
3
2
i=-
1
2
-
❑
√
3
2
i,z3=
(
-1
2-
❑
√
3
2i
)
3
=-
1
8
-
3❑
√
3
8
i+
9
8
+
3❑
√
3
8
i=1.
3. C
解析:若y=f(x)为奇函数,则f(x)满足 f(-x)=-f(x),所以 cos(-x+φ)=-cos(x+φ),则有 cos xcos φ=0,则cos φ=0.因为-
π
2
≤φ≤
π
2
,所以 φ=±
π
2
,
所以“y=f(x)为奇函数”是“φ=
π
2
”的必要不充分条件.
4. C
解析:由题意得 F1+F2+F3=0,所以-F3=F1+F2,两边平方得
|
F3
)
2
=
|
F1
)
2
+2F1·F2+
|
F2
)
2
,即
|
F3
)
2
=1+2×1×2×
(
-1
2
)
+4=3,所以
|
F3
)
=
❑
√
3
.
5. A
解析:第r+1 项的系数为
C6
r
ar,由题意得
{
C6
4a4>C6
3a3,
C6
4a4>C6
5a5,
)
解得
4
3
<a<
5
2
.
6. B
解析:由题知|AB|=T=
π
ω
,由f(0)=2tan
π
4
=2,得yC=2,所以 S△ABC=
1
2
×2×
π
ω
=
π
2
,所以 ω=2.
7. C
解析:由题意得 2an+1=an+an+2,n∈N*,所以 an+1-an=an+2-an+1,n∈N*,则数列{an}为等差数列,设公差为 d.因为 Sn=na1+
n(n- 1 )
2
d,所以
Sn
n
=a1+
n-1
2
d,
Sn+1
n+1
-
Sn
n
=
d
2
(常数),则
{
Sn
n
)
也为等差数列.因为 5S7-7S5=35,所以
S7
7
-
S5
5
=1,则数列
{
Sn
n
)
的公差为
1
2
,所以
Sn
n
=
S1
1
+(n-
1)×
1
2
=1+
n-1
2
=
n+1
2
,所以
n(n+1 )
4SnSn+1
=
1
(n+1)( n+2 )
=
1
n+1
-
1
n+2
,所以
∑
n=1
2024 n(n+1 )
4SnSn+1
=
∑
n=1
2024
(
1
n+1-1
n+2
)
=
1
2
-
1
2026
=
506
1013
.
8. D
解析:因为 g(x)=(f(x))2-f(f(x)),所以令 t=f(x),则g(x)=t2-f(t),令g(x)=0,可得 t2=f(t).当t>0 时,由t2=f(x),可得 t2=(t-2)2,即-4t+4=0,解得
t=1;当t≤0 时,由t2=f(t),可得 t2=2t+3,即t2-2t-3=0,解得 t=-1 或t=3(舍去).所以 t=±1,即f(x)=±1.当x>0 时,令(x-2)2=1 或(x-2)2=-1(舍去),解得
x=1 或x=3;当x≤0 时,令2x+3=±1,解得 x=-1 或x=-2.所以函数 g(x)=(f(x))2-f(f(x))的零点之和为 1+3-1-2=1.
9. ABD
解析:对于 A,因为 P(X>9)=
1
2
,所以 μ=9,所以 P(X<7)=P(X>11)=
2
5
,所以 P(7<X<9)=
1
2
-P(X<7)=
1
10
,故A正确;对于 B,P=1-
C4
2
C9
2
=
5
6
,故B正确;对于 C,ξ服从超几何分布,且N=9,M=4,n=2,所以 E(ξ)=
nM
N
=
8
9
,故C错误;对于 D,因为
y
=19,
x
=9,所以 19=9
´
b
+1,得
´
b
=2,故
D正确.
10. AD
解析:令f(x)=0,得(x2+ax+b)ex=0,即x2+ax+b=0.Δ1=a2-4b.当Δ1>0 时,f(x)有两个零点;当Δ1=0 时,f(x)有一个零点;当Δ1<0 时,f(x)无
零点.又f'(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex.令f'(x)=0,得x2+(a+2)x+a+b=0.Δ2=(a+2)2-4(a+b)=a2-4b+4.当Δ2>0 时,f'(x)有两个变号零点,即f(x)有两个
极值点;当Δ2≤0 时,f'(x)没有变号零点,即f(x)没有极值点.对于 A,因为 f(x)没有极值点,所以 Δ2=a2-4b+4≤0,即a2-4b≤-4,故Δ1<0,所以 f(x)没
有零点,故A正确;对于 B,若f(x)没有零点,则Δ1=a2-4b<0,此时 Δ2=a2-4b+4<4,当Δ2>0 时,f(x)有两个极值点,故B错误;对于 C,若f(x)恰有
一个零点,则Δ1=a2-4b=0,此时 Δ2=a2-4b+4>0,故f(x)有两个极值点,故C错误;对于 D,若f(x)有两个零点,则Δ1=a2-4b>0,此时 Δ2=a2-
4b+4>0,故f(x)一定有两个极值点,故D正确.
公众号：高中试卷君
11. BD
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1=
y1
2
,x2=
y2
2
.对于 A,假设直线 PA 的斜率为
1
10
,则kAP=
y1-3
y1
2
=
1
10
⇒
y1
2
-10y1+30=0,由于 Δ=100-
120<0,则该方程无解,所以直线 PA 的斜率不可能为
1
10
,故A错误;对于 B,|PA|=
❑
√
y1
4+( 3- y1)2
,记y=
y1
4
+(3-y1)2,则y'=4
y1
3
-2(3-y1),记
g(y1)=4
y1
3
-2(3-y1),则g'(y1)=12
y1
2
+2>0,y'=g(y1)单调递增.由于 y'
y1=1
=0,因此,当y1>1 时,y'>0,y=
y1
4
+(3-y1)2单调递增,当y1<1 时,y'<0,y=
y1
4
+
(3 - y1)2
单调递减,故当 y1=1 时,y=
y1
4
+(3-y1)2取最小值 5,因此|PA|=
❑
√
y1
4+( 3- y1)2
的最小值为
❑
√
5
,故B正确;对于 C,若P,A,B
三点共线,A为线段 PB 的中点,则0+x2=2x1,3+y2=2y1,所以 x2=2x1,y2=2y1-3.又
y1
2
=x1,
y2
2
=x2,所以
(2 y1- 3 )2
=x2=2x1=2
y1
2
,即2
y1
2
-
12y1+9=0,Δ=144-4×2×9=72>0,故2
y1
2
-12y1+9=0 有两个不相等的实数根,所以满足条件的点 B不唯一,故C错误,D 正确.
12. AC
解析:易证四边形 ABCO 为菱形,所以 BO⊥AC,如图,连接 PO,因为 PA=PD=
❑
√
2
,O为AD 中点,所以 PO⊥AD.因为平面 PAD⊥
平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PO⊂平面 PAD,所以 PO⊥平面 ABCD.因为 AC⊂平面 ABCD,所以 PO⊥AC.又PO,OB⊂平面
POB,PO∩OB=O,所以 AC⊥平面 POB.又BP⊂平面 POB,所以 AC⊥BP,故A正确.易证△AOE 为等腰直角三角形,△AOB 为等边三角形,
且平面 PAD⊥平面 ABCD,所以三棱锥 B-AOE 外接球的球心为等边三角形 AOB 的中心,所以三棱锥 B-AOE 外接球的半径为
❑
√
3
3
,所以
三棱锥 B-AOE 外接球的体积为 V=
4
3
π×
(
❑
√
3
3
)
3
=
4❑
√
3
27
π,故B错误.因为 PD∥OE,所以∠CPD 为异面直线 PC 与OE 所成的角(或其补
角).因为 PO=
❑
√
P D2-O D2
=1,所以 PC=
❑
√
PO2+O C2
=
❑
√
2
.在△PCD 中,由余弦定理,得cos∠CPD=
2+2 -1
2×❑
√
2×❑
√
2
=
3
4
,故C正确.
因为 PO⊥平面 ABCD,连接 OQ,PQ,若直线 PQ 与平面 ABCD 所成的角为 60°.则∠PQO=60°.因为 PO=1,所以 OQ=
❑
√
3
3
,故点 Q的轨迹
是以 O为圆心,
❑
√
3
3
为半径的半圆,所以点 Q的轨迹长度为
❑
√
3π
3
,故D错误.
(第12 题)
(第13 题)
13. (x+1)2+y2=9 或
(x-11
4)
2
+y2=
9
16
解析:由题知两圆心连线过点 A(2,0),圆x2-2x+y2=0,即(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径为 1,故圆
C的圆心 C在x轴上.
①若两圆内切,则C(2-r,0),故d=
| 3 (2 -r)-12 |
5
=r,解得 r=3,则圆 C的标准方程为(x+1)2+y2=9;
②若两圆外切,则C(2+r,0),故d=
| 3 (2+r)-12 |
5
=r,解得 r=
3
4
,则圆 C的标准方程为
(
x-11
4
)
2
+y2=
9
16
.
14.
❑
√
3
解析:4sin 40°-tan 40°=4sin 40°-
sin 40 °
cos40 °
=
4 sin 40° cos40 °- sin 40 °
cos 40°
=
2sin 80 °- sin 40 °
cos 40 °
=
2cos 10°- sin 40 °
cos 40 °
=
2cos ( 40 °- 30°)- sin 40 °
cos 40°
=
2cos 40 ° cos 30 °+2 sin 40 ° sin 30 °- sin 40 °
cos 40°
=
❑
√
3
.
15.
4π
3
解析:如图,画出截面图.易得 O1B=BE=r1,O2C=CE=r2,所以 BC=r1+r2.记内切球的半径为 R,则O1O2=2R.过B作BG⊥DC,垂足
为G,则CG=r2-r1,BG=O1O2=2R,所以
(r1+r2)2
=4R2+
(r2-r1)2
⇒4R2=4r1r2≤2
(
2r1+r2
2
)
2
=4⇒R≤1,所以它的内切球的体积的最大值为
4
3
πR3=
4π
3
.
(第15 题)
16. 2
❑
√
2
解析:由题可得双曲线为 y=
❑
√
3
3
x+
❑
√
3
4x
,所以渐近线为 x=0 及y=
❑
√
3
3
x,渐近线夹角为 60°,则
b
a
=
❑
√
3
3
,所以焦点所在的直线方
程为 y=
❑
√
3
x.由
{
y=❑
√
3x,
y=❑
√
3
3x+❑
√
3
4x,
)
得
❑
√
3
x=
❑
√
3
3
x+
❑
√
3
4x
,解得
{
x=❑
√
6
4,
y=3❑
√
2
4
)
或
{
x=-
❑
√
6
4,
y=-3❑
√
2
4.
)
此时 a=
❑
√
(
❑
√
6
4
)
2
+
(
3❑
√
2
4
)
2
=
❑
√
6
2
,则b=
❑
√
2
2
,所以 c=
❑
√
a2+b2
=
❑
√
2
,则焦距为 2
❑
√
2
.
17. 解答:(1) 因为 2a=bccos C+c,c=2,所以 a=bcos C+1,所以由余弦定理得 a=b
a2+b2-c2
2ab
+1,所以 2a2=a2+b2-c2+2a,所以 a2+c2-b2=ac,所
以cos B=
a2+c2-b2
2ac
=
1
2
.又B∈(0,π),所以 B=
π
3
.(5 分)
(2) 设∠DCA=α,则∠ADB=α+
π
6
,∠BAD=
π
2
-α.
在△ABD 中,由正弦定理有
BD
sin
(
π
2-α
)
=
AD
sin B
,即
BD
cosα
=
AD
sin π
3
.在△ACD 中,由正弦定理有
DC
sin π
6
=
AD
sin α
.因为 BD=DC,所以
sin π
6
sin α
=
cos α
sin π
3
,即sin αcos α=sin
π
6
sin
π
3
,所以 sin 2α=
❑
√
3
2
.因为 α∈
(
0 , π
2
)
,所以 2α=
π
3
或2α=
2π
3
,
所以 α=
π
6
或α=
π
3
(舍去).(8 分)
当α=
π
6
时,A=
π
2
,AC=2
❑
√
3
,△ABC 的面积为
1
2
×2×2
❑
√
3
=2
❑
√
3
.(10 分)
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