河南省郑州市宇华实验学校2024届高三下学期第三次模拟考试 数学 含解析

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2024 学年郑州市宇华实验学校高三（下）第三次模拟考试
数 学
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位
号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知实数 ， 且 ，则 取得最大值时， 的值为（）
A. B. C. D. 或
2.已知 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
3.法国数学家棣莫弗（1667-1754 年）发现了棣莫弗定理：设两个复数
， ，则
.设 ，则 的虚部为（）
A. B. C.1 D.0
4.已知 满足 ，且 ，
则 （）
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，集合 ，集合 ，已
知点 ，点 ，记 表示线段 长度的最小值，则 的最大值为（）
A.2 B. C.1 D.
6.算盘起源于中国，迄今已有 2600 多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿
拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具，下图一展示的是一把算盘的初
始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位， ，上面的一粒珠子（简称
上珠）代表 5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表 1，五粒下珠的大小等同于一粒上
珠的大小.例如如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁
上，代表数字 17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机拨动
一粒珠子至梁上，则表示的六位数至多含 4 个 5 的情况有（）
A.57 种 B.58 种 C.59 种 D.60 种
7.已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则满足
的值为（）
A.14 B.15 C.16 D.17
8.已知
f
(
x
)
为定义在
(
− ∞ , 0
)
∪
(
0,+∞
)
上的偶函数，已知
f
(
1
)
=0
，当
x＞0
时，有
2f
(
x
)
− x f '
(
x
)
＞0
，则使
f
(
x
)
＞0
成立的
的取值范围为（）
A.
(
− ∞ , −1
)
∪
(
0,1
)
B.
(
−1,0
)
∪
(
1,+∞
)
C.
(
− ∞ , −1
)
∪
(
1,+∞
)
D.
(
−1,0
)
∪
(
0,1
)
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共 18 分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，若只有 2
个正确选项，每选对 1 个得 3 分；若只有 3 个正确选项，每选对 1 个得 2 分.
9.已知 ，则（）
A. 的图象关于点 对称
B. 的值域为
C. 在区间 上有 33 个零点
D. 若 方 程 在 （ ） 有 4 个 不 同 的 解 （ ， 2 ， 3 ， 4 ） ， 其 中
（ ，2，3），则 的取值范围是
10.已知正方体 的棱长为 是 中点， 是 的中点，点 满
足 ，平面 截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的
体积分别为 ，则下列判断正确的是（）
A. 时，截面面积为 B. 时，
C. 随着 的增大先减小后增大 D. 的最大值为
11.已知双曲线 上一点 A到其两条渐近线的距离之积为 ，则下
列结论正确的是（）
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.曲线 在点 处的切线方程为
.
13.已知有 两个盒子，其中 盒装有 3 个黑球和 3 个白球，盒装有 3 个黑球和 2
个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从 盒、乙从 盒各随机取出一个球，若 2 个
球同色，则甲胜，并将取出的 2 个球全部放入 盒中，若 2 个球异色，则乙胜，并将
取出的 2 个球全部放入 盒中.按上述方法重复操作两次后， 盒中恰有 7 个球的概
率是
.
14.一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为 2 的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其
底面圆的半径为
.
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
15.(13 分)已知等比数列 的公比 ，且 .
(1)求{ }的前 n项和 ；
(2)若等差数列 的前 2 项分别为 ， ，求的前 n项和 .
16.(15 分)如图，在四棱锥中，底面 为正方形， 平面
与底面所成的角为 ， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为 的内心，求直线 与平面 所成角的正弦值.
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