河南省郑州市第一中学2024届高三下学期高考考前全真模拟考试 数学 Word版含答案

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2024 届高三考前全真模拟考试
数 学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数
z
对应的点的坐标是
(
−1,❑
√
3
)
，则
z
的共轭复数
z=¿
（ ）
A．
1+❑
√
3i
B．
1−❑
√
3i
C．
−1+❑
√
3i
D．
2．若
xy ≠0
，则“
x+y=0
”是“
x
y+y
x=−2
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知
sin
(
α − β
)
=1
3,cos αsin β=1
6
，则
cos
(
2α+2β
)
=¿
（ ）
A．
7
9
B．
1
9
C．
−1
9
D．
−7
9
4．若
f
(
x
)
=
(
x+a
)
ln 2x −1
2x+1
为偶函数，则
a=¿
（ ）
A．
−1
B．0 C．
1
2
D．1
5．对三组数据进行统计，获得以下散点图。关于其相关系数依次是
r1, r2, r3
，则它们的大小关系是（
）
A．
r1>r3>r2
B．
r1>r2>r3
C．
r2>r1>r3
D．
r3>r1>r2
6．已知函数
f
(
x
)
=a ex− lnx
在区间
(
1,2
)
上单调递增，则
a
的最小值为（ ）
A．
e2
B．
e
C．
e❑−1
D．
e❑−2
7．已知双曲线
x2
a2−y2
b2=1
(
a>0,b>0
)
，过实轴所在直线上任意一点
N
(
t , 0
)
的弦的端点
A
,
B
与点
G
(
m, 0
)
的
连线所成的角被焦点所在的直线平分，即
∠NGA =∠NGB
，则
m
的值为（ ）
A．
a❑2
t
B．
t
a2
C．
t2
D．
a
t2
8．已知
y=f
(
x+1
)
+1
为奇函数，则
f
(
−2
)
+f
(
−1
)
+f
(
0
)
+f
(
1
)
+f
(
2
)
+f
(
3
)
+f
(
4
)
=¿
（ ）
A．
−14
B．14 C．
−7
D．7
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9．下列说法中，错误的为 ‰ .
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥.
10．已知
M={a
|
f
(
a
)
=0}, N ={β
)
g
(
β
)
=0}
，若存在
α∈M , β ∈N
，使得
|
α − β
)
<n
，则称函数
f
(
x
)
与
g
(
x
)
互为“
n
度零点函数”. 若
f
(
x
)
=3❑2− x −1
与
g
(
x
)
=x❑2− ae❑x
互为“1度零点函数”，则符合条件
实数
a
的取值范围为 ‰ .
A．
(
2
e,4
e
)
B．
(
1
e,3
e2
)
C．
(
3
e2,4
e2
)
D．
(
1
e❑2,2
e❑2
)
11．已知函数
f
(
x
)
=xcos x− sin x
，下列结论中正确的是（ ）
A．函数
f
(
x
)
在
x=π
2
时，取得极小值
−1
B．对于
∀x∈[0, π ], f
(
x
)
≤0
恒成立
C．若
0<x1<x2<π
，则
x1
x2
<sin x1
sin x2
D．若对于
∀x∈
(
0,π
2
)
，不等式
a<sin x
x<b
恒成立，则
a
的最大值为
2
π
，
b
的最小值为 1
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12．设
a>0, b>0
，记
M
为
1
a,b ,a+3
b
三个数中最大的数，则
M
的最小值 ‰ .
13．已知双曲线
C:x❑2
a❑2−y❑2
b❑2=1
(
a>0, b>0
)
的左，右焦点分别为
F1, F2
. 点
A
在
C
上，点
B
在
y
轴上，
⃗
F1A⊥
⃗
F1B ,
⃗
F2A=−2
3
⃗
F2B
，则
C
的离心率为 ‰ .
14．如图，在三棱锥
P − ABC
中，点
O
为
AB
的中点，点
P
在平面
ABC
内的射影恰为
OB
的中点
E
，已知
AB=2PO=2
，点
C
到
OP
的距离为
❑
√
3
，则当
∠ACB
最大时，直线
PC
与平面
PAB
所成角的大小为
.
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
15．记
△ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
，已知
△ABC
面积为
❑
√
3
，
D
为
BC
的中点，且
AD=1
.
（1）若
∠ADC=π
3
，求
tan B
；
（2）若
b❑2+c❑2=8
，求
b
,
c
.
16．已知函数
f
(
x
)
=a
(
e❑x+a
)
− x
.
（1）讨论
f
(
x
)
的单调性；
（2）证明：当
a>0
时，
f
(
x
)
>2lna+3
2
.
17．如图，三棱锥
A − BCD
中，
DA=DB=DC
,
BD ⊥CD
,
∠ADB=∠ADC=60❑∘
，
E
为
BC
中点.
（1）证明
BC ⊥DA
;
（2）点
F
满足
⃗
EF=
⃗
DA
，求二面角
D − AB− F
的正弦值.
18．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两
类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机
调查了 100 人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 90 10
（1）能否有
99 %
的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，
A
表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，
B
表示事件“选到的人患有
该疾病”，
P
(
B∣A
)
P
(
B∣A
)
与
P
(
B∣A
)
P
(
B∣A
)
的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该
指标为
R
.
（ⅰ）证明：
R=P
(
A∨B
)
P
(
A∨B
)
⋅P
(
A∨B
)
P
(
A∨B
)
；
（ⅱ）用该数据，给出
P
(
A∣B
)
, P
(
A∣B
)
的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出
R
的估计值.
附：
K2=n
(
ad − bc
)
2
(
a+b
) (
c+d
) (
a+c
) (
b+d
)
.
P
(
K2≥ k
)
0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828
19．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗
尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点
M
与两定点
Q
,
P
的距离之比
|
MQ
)
|
MP
)
=λ
(
λ>0, λ ≠ 1
)
，
λ
是一个
常数，那么动点
M
的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线
PQ
上. 已知动点
M
的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方
程为
x❑2+y❑2=4
，定点分别为椭圆
C:x❑2
a❑2+y❑2
b❑2=1
(
a>b>0
)
的右焦点
F
与右顶点
A
，且椭圆
C
的离心
率为
e=1
2
.
（1）求椭圆
C
的标准方程；
（2）如图，过右焦点
F
斜率为
k
(
k>0
)
的直线
l
与椭圆
C
相交于
B , D
（点
B
在
x
轴上方），点
S
,
T
是椭圆
C
上
异于
B
,
D
的两点，
SF
平分
∠BSD
,
TF
平分
∠BTD
.
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