河南省南阳市六校联考2023-2024学年高二下学期4月期中考试 数学 含解析

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2023－2024 学年（下）南阳六校高二年级期中考试
数 学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试
卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．曲线 在点 处的切线的斜率为（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2．已知数列 的首项 ，当 时， ，若 ，则 的值可以是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
3．下列求导错误的是（ ）
A．B．
C．D．
4．具有线性相关关系的变量 的样本数据如下：
－2－4－6－8
17.
413 8.2 5
其回归直线方程为 ，则回归直线经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
5．在数列 中，若 ，则 （ ）
A．1012 B．1013 C．2023 D．2024
6．已知数列 满足 ，其前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．设点 到直线 的距离为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知 ，在数列 的每相邻两项 与 之间插人 个 1，使它们和原数列
的项构成一个新的数列 ，记新数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．150 B．151 C．170 D．171
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．下列结论中正确的是（ ）
A．由样本数据得到的回归直线 必过点
B．样本相关系数 越大，两个变量的线性相关程度越强，反之，线性相关程度越弱
C．若变量 与 之间的相关系数 ，则 与 正相关
D．若样本数据 的对应样本点都在直线 上，则这组样本数据的相关系数
为－1
10．已知 是等差数列， 是其前 项和，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 和 都为递增数列，则
11．已知直线 与曲线 和 都相切，切点分别为 ，则（ ）
A．B．
C．满足条件的直线 有 2条D．满足条件的直线 只有 1条
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 _______．
13．已知变量 和 之间的关系可以用模型 来拟合．设 ，若根据样本数据计算可得
，且 与 的线性回归方程为 ，则 _______．（参考数据：
）
14．ChatGPT 爆火以来，各种人工智能平台如雨后春笋般层出不穷．某人工智能服务商提供了 两种会
员服务套餐，购买会员服务的既有个人用户也有公司用户．后台随机调取 名会员的基本信息，统计发现
购买 B套餐的用户数占总用户数的 ，购买 B套餐的用户中公司用户数是个人用户数的 倍，购买 套
餐的用户中公司用户数是个人用户数的一半．根据独立性检验，有 的把握认为购买的套餐类型与用
户类型有关系，则 的最小值为_______．（参考公式及数据见18 题）
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
（I）若函数 有三个零点1，2，4，求 ；
（II）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 和 的值．
16．（15 分）
某运动服饰公司对产品研发的年投资额 （单位：十万元）与年销售量 （单位：万件）的数据进行统计，
整理后得到如下统计表：
12345
3
540 50 5
570
（I）求 和 的样本相关系数 （精确到 0.01），并推断 和 的线性相关程度；（若 ，则线性
相关程度很强；若 ，则线性相关程度一般；若 ，则线性相关程度很弱）
（II）求年销售量 关于年投资额 的回归直线方程，并据此预测年投资额为60 万元时的年销售量．
参考数据： ．
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