河南省名校联盟2024届高三下学期4月教学质量检测试题 数学 含解析

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高三数学考试
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.若
a+2i
2−3i
为纯虚数,a∈R,则a=
A.3 B.4 C.-3 D.-4
2.设集合 A={1,-a},B={0,3-a,3a-8},若A⊆B,则a=
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知圆锥的底面圆的半径为 1，其侧面展开图是一个圆心角为 π/2 的扇形，则该圆锥的母线长为
A.
5
2
B.3 C.
7
2
D.4
4.已知函数
f
(
x
)
=2sin
(
2x−π
3
)
cos
(
2x+π
3
)
,
则下列结论正确的是
A. f(x)的最小正周期为 π B. f(x)在(
(
−π
8,π
4
)
上单调递增
C. f'(x)为偶函数 D. f(x)的最小值为
❑
√
3
2
5.已知点 P(m,n)是圆 C
:x²+y²=8
上的任意一点，则(
的最大值为
A.25 B.24 C.23 D.22
6. 过双曲线
C . x2
4−y2=1
的左焦点 F₁ 作倾斜角为 θ的直线 l交C于M，N两点，若
⃗
M F1=3
⃗
F1N ,
则|cosθ|=
A .
❑
√
10
10
B . 3❑
√
10
10
C . 2❑
√
5
5
D .
❑
√
5
5
7.将8个数学竞赛名额全部分给 4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有 1个名额，则不同的分配
方案种数为
A.56 B.84 C.126 D.210
8.已知函数 f(x)的定义域为 R,对于任意实数 x,y 满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x+1)f(y),且 f(0)=2，则
下列结论错误的是
A. f(1)=1 B. f(x)为偶函数
C. f(x)是周期函数
D . f
(
10
)
=1
512
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.2023 年7 月 31 日国家统计局发布了制造业采购经理指数(PMI)，如下图所示：
下列说法正确的是
A.从2023 年1月到 2023 年7月，这 7个月的制造业采购经理指数(PMI)的第 75 百分位数为
51.9%
B.从 2023 年1月到 2023 年7月,这7个月的制造业采购经理指数(PMI)的极差为 3.8%
C.从 2022 年7月到 2023 年7月,制造业采购经理指数(PMI)呈下降趋势
D. PMI 大于 50%，表示经济处于扩张活跃的状态，PMI 小于 50%，表示经济处于低迷萎缩的状态
则2023 年1月到 2023 年3月，经济处于扩张活跃的状态
10.已知抛物线 Γ:
y²=16 x ,
,过点 N(6,0)作直线 l₁,l₂,直线 l₁与Γ交于 A,C 两点,A 在x轴上方,直线 l₂
与Γ交于 B,D 两点,D 在x轴上方,连接 AB,CD,AD,BC,若直线 AB 过点 M(2，0)，则下列结论正确的是
A.若直线 AB 的斜率为 1，则直线 CD 的斜率为
1
3
B.直线 CD 过定点(18,0)
C.直线 AD 与直线 BC 的交点在直线 x=-4 上
D.△ABN 与△CDN 的面积之和的最小值为
160❑
√
2
11. 已知定义在 R上的奇函数 f(x) 连 续 ,函 数 f(x) 的导函数为 f'(x). 当x>0 时,.f'(x) cosx
¿f
(
x
)
sinx+e⋅f'
(
x
)
,
，其中 e为自然对数的底数，则
A. f(x)在R上为减函数
B.当x>0 时,f(x)<0
C . f
(
π
2
)
>f
(
3π
2
)
D.∫(x)在 R上有且只有 1个零点
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12.已知数列{an}的前 n项和为 Sn,若(
aₙ=λn+1, a ₁₀ =21 ,
则
λ¿.
13.太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”.
如图所示的图形是由半径为 2 的大圆 O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN 过点 O 且两端点M，N 分
别在两个半圆弧上，点 P 是大圆上一动点，则
⃗
PM ⋅
⃗
PN
的最小值为 ▲ .
14.已知正四棱台.
ABCD−A₁B₁C₁D₁
的内切球半径
r=❑
√
2
2, AB=2A1B1,
则异面直线 A₁B₁与
DD₁所成角的余弦值为 ▲ .
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a, b,c,
a=2,
❑
√
5
5sin A=1−cos A .
(1)求 cos A;
(2)若AD 为△ABC 的中线,且.
AD=❑
√
3,
,求△ABC 的面积 S.
16.(15 分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,且
∠ABC =π
3,
,平面 PAC⊥平面AB-CD. F
为PA 的中点,且CF=PF,PC=4,BC=2,PB=PD,M,N 分别为PB,PD 的中点.
(1)证明:BD⊥AC.
(2)设DM 交平面 NAC 于点 H,求平面ABC 与平面ABH 夹角的余弦值.
17.(15 分)
某市共有教师 1000 名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10 名教
师利用“学习 APP”学习的时长(单位:小时):35,43,90,83,50,45,82,75,62,35.时长不低于 80 小时的
教师评为“研修先进个人”.
(1)现从该样本中随机抽取 3名教师的学习时长，求这 3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概
率.
(2)若该市所有教师的学习时长 X 近似地服从正态分布
N
(
μ , σ ²
)
,
其中
σ=10 ,
μ为抽取的
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