天津市河北区2024届高三下学期二模试题 数学 Word版含答案

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河北区 2023—2024 学年度高三年级总复习质量检测（二）
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时分钟. 第
Ⅰ卷 1至3页，第Ⅱ卷 4至8页.
第Ⅰ卷（选择题 共 45 分）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在相应位置粘
贴考试用条形码。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3.本卷共 9小题，每小题 5分，共 45 分。
参考公式：
如果事件
A
,
B
互斥，那么
P
(
A∪B
)
=P
(
A
)
+P
(
B
)
球的表面积公式
S=4π R2
球的体积公式
V=4
3π R3
如果事件
A , B
相互独立，那么
P
(
AB
)
=P
(
A
)
P
(
B
)
其中
表示球的半径
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）已知集合
A={1,2,3,4}
，集合
B={x∨2≤ x ≤ 3}
，则
A ∩
(
∁RB
)
=¿
A．
{3,4}
B．
{1,4}
C．
{2,3}
D．
{1,2,3,4}
（2）设
x∈R
，则“
1<x<2
”是“
|
x −2
)
<1
”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（3）若
a=30.5 , b=log0.5 3, c=0.32
，则
a
,
b
,
c
的大小关系为
A．
b<a<c
B．
c<b<a
C．
c<a<b
D．
b<c<a
（4）函数
f
(
x
)
=tan x+1
tan x
，则
y=f
(
x
)
的部分图象大致是
A．B．
C．D．
（5）在数列
{an}
中，若对任意的
n∈N+¿¿
都满足
an+2
an+1
−an+1
an
=d
（其中
d
为常数），则称数列
{an}
为等差
比数列. 已知等差比数列
{an}
中，
a1=a2=1, a3=3
，则
a5
等于
A．5 B．9 C．15 D．105
（6）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长. 已知某科技公司 2018 年
至2022 年云计算市场规模数据，且市场规模
y
与年份代码
x
的关系可以用模型
y=c1ec2x
（其中
e
为自然对
数的底数）拟合，设
z=ln y
，得到数据统计表如下：
年份 2018 年2019 年2020 年2021 年2022 年
年份代码
x
1 2 3 4 5
z=ln y
2 2.4 3 3.6 4
由上表可得经验回归方程
z=0.52 x+
^
a
，则 2026 年该科技公司云计算市场规模
y
的估计值为（参考公式：
^
a=z−
^
b x
）
A．
e5.08
B．
e5.6
C．
e6.12
D．
e6.5
（7）陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石
制的陀螺. 如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为 1，圆锥
与圆柱的高均为 1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为
A．
4
3π
B．
32
3π
C．
25
4π
D．
125
48 π
（8）函数
f
(
x
)
=x+1
x
被称为“对勾函数”，它可以由双曲线
C:x2
a2−y2
b2=1
(
a>0, b>0
)
旋转得到，已知直
线
x=0
和直线
y=x
是函数
f
(
x
)
的渐近线，则双曲线
C
的渐近线方程为
A．
y=±
❑
√
3
3x
B．
y=±
(
❑
√
2−1
)
x
C．
y=±
(
2−❑
√
3
)
x
D．
y=± x
（9）
△ABC
是等腰直角三角形，其中
AB⊥AC ,∣
⃗
AB ∣=1
，
P
是
△ABC
所在平面内的一点，若
⃗
CP=λ
⃗
CA+μ
⃗
CB
（
λ ≥ 0, μ ≥ 0
且
λ+2μ=2
），则
⃗
CA
在
⃗
CP
上的投影向量的长度的取值范围是
A．
¿
B．
[❑
√
2
2,1]
C．
[1,❑
√
2]
D．
[❑
√
2,2]
第Ⅱ卷
注意事项：
1.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上。
3.本卷共 11 小题，共 105 分。
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分。请将答案写在答题纸上）
（10）
i
是虚数单位，化简
1+i
1− i
的结果为 / .
（11）
(
❑
√
x − 1
x
)
9
的展开式中常数项为 / .
（12）已知抛物线
y2=8x
上有一点
A
，且点
A
在第一象限，以
A
为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和
焦点，那么这个圆的方程为 / .
（13）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学
生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手
机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为
，第三天不玩手机的概率为 / .
（14）已知函数
f
(
x
)
=sin
(
ωx+φ
)
(
ω>0,0<φ<π
2
)
的最小正周期为
T
，若
f
(
T
)
=❑
√
3
2
，
x=π
9
时函数
f
(
x
)
取
得最大值，则
φ=¿
/ ,
ω
的最小值为 /
（15）函数
f
(
x
)
=x
|
x− 2a
)
+a2−4a
，若函数
f
(
x
)
恰有三个不同的零点
x1, x2, x3
，且满足
x1<x2<x3
，则
1
x1
+1
x2
+1
x3
的取值范围为 / .
三、解答题（本大题共 5小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（16）（本小题满分 14 分）
在
△ABC
中，角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
，已知
c=4, b=3
,
（Ⅰ）若
cos C=−1
4
，求
a
的值和
△ABC
的面积；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求
cos
(
2C+π
3
)
的值；
（Ⅲ）若
A=2B
，求
a
的值.
请将答案写在答题纸上
（17）（本小题满分 15 分）
如图，四棱锥
P − ABCD
中，侧棱
PD ⊥
平面
ABCD
，点
E
是
PC
的中点，底面
ABCD
是直角梯形，
AB/¿DC , AD ⊥DC , AB=AD=PD=1, CD=2
.
（Ⅰ）求证：
BE/¿
平面
PAD
；
（Ⅱ）求异面直线
PB
和
AC
所成角的余弦值；
（Ⅲ）点
Q
在线段
PC
上，平面
BDQ
和平面
PBD
的夹角为
45∘
，求
|
PQ
)
|
PC
)
的值.
请将答案写在答题纸上
（18）（本小题满分 15 分）
设椭圆
E:x2
a2+y2
b2=1
(
a>b>0
)
经过点
(
❑
√
3,1
2
)
，长轴长是短轴长的 2倍，上顶点为
B
.
（Ⅰ）求椭圆
E
的方程；
（Ⅱ）过点
B
且斜率为
k
(
k>0
)
的直线与椭圆交于另一点
P
，过点
B
作与
BP
垂直的直线，交直线
x=a
于点
Q
，
过点
B
作直线
x=a
的垂线，垂足为
M
,若
∠BQP=∠BQM
，求
k
的值.
请将答案写在答题纸上
（19）（本小题满分 15 分）
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