新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2023届高三三模理数问卷理科数学答案

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高三质量监测理科数学答案 第1页（共 5页）
乌鲁木齐地区 2023 年高三年级第三次质量监测
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，共 60 分）
1~5．DADCC 6~10．BBACD 11~12．BD
二、填空题（共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13．
1
14．
1−
15．
6
或
400
41
16．
25
14
3
−
三、解答题
17．
⑴由余弦定理得
2
2 2 cos 2 cos 2 cosa B ab C ac B=+
，即
2 cos cos cosa B b C c B=+
再由正弦定理得
，∴
2 sin cos sinA B A=
，∵
sin 0A
∴
2
cos 2
B=
，又
(0, )B
，∴
4
B
=
…6分
⑵由正弦定理得
( )
sin sin
ac
A A B
=+
即
2sin 1
421
sin tan
A
cAA

+


= = +


而
1 2 1
sin 1
2 2 tan
ABC
S ac B c A
= = = +
由
ABC
为锐角三角形，∴
42
A

+
且
02
A

，则
42
A


∴
( )
1
1 1,2
tan A
+
，即
( )
1,2
ABC
S
. …12 分
18.
⑴
X
的可能取值为
3,4
由题意当
3X=
时表示日销售量为
1
，此时
( )
61
330 5
PX= = =
，则
( )
4
45
PX==
∴
X
的分布列为
X
3
4
P
1
5
4
5
…4分
⑵由⑴知
( )
4
45
PX==
，则
Y
服从二项分布即
4
300, 5
YB



.
( ) ( )
300
300 41 0,1,2, ,300
55
kk
k
P Y k C k
−
 
= = =
 
 
，依题意
高三质量监测理科数学答案 第2页（共 5页）
( )
( )
300 1 300 1
1
300 300
300 1 300 1
1
300 300
4 1 4 1
5 5 5 5
4 1 4 1
5 5 5 5
k k k k
kk
k k k k
kk
CC
CC
− + − +
+
− − − −
−
   
   
   
   
   
   
，解得
1199
5
1204
5
k
k
∴
240k=
即
( )
P Y k=
取最大值时的
k
的值为
240
. …12 分
19.
⑴证明：在
ABC
中，
,ME
分别为
,AC BC
的中点，则
ME
∥
AB
折叠前
AD BC⊥
则折叠后
AD CD⊥
，又
90BDC = 
即
CD BD⊥
，且
BD AD D=
∴
CD ⊥
平面
ADB
，又
AB
平面
ADB
，∴
CD AB⊥
而
ME
∥
AB
，∴
CD ME⊥
；…6分
⑵设
( )
03BD x x=  
，则
3CD x=−
，
( ) ( ) ( )
22
1 1 1
3 3 0 3
3 2 6
A BCD
V x x x x x
−=  − = −
∴
( )( )
131
2
V x x
= − −
，令
0V=
解得
1x=
，即当
1, 2BD CD==
时，
A BCD
V−
取最大,
此时
2DA =
.
以为
D
坐标原点，以
,,DB DC DA
所在直线分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴，建立空间直角坐标系，
则
( ) ( ) ( ) ( )
1
1,0,0 , 0,2,0 , 0,0,2 , 0,1,1 , ,1,0
2
B C A M E


，设
( )
0, ,0Nt
( )
02t
由
EN BM⊥
得
0EN BM=
即
110
2t− + − =
，∴
1
2
t=
，则
1
0, ,0
2
N


设平面
MBN
的一个法向量
( )
= x,y,zm
，
11
1, ,0 , 0, ,1
22
NB NM
 
= − =
 
 
则
0
0
NB
NM
=
=
m
m
即
10
2
10
2
xy
yz
−=
+=
，令
2y=
，则
1, 1xz= = −
所以
( )
1,2, 1=−m
由题意可知平面
BNC
的一个法向量
( )
0,0,1=n
，则
6
cos , 6
−
==
mn
mn mn
∵二面角
M BN C−−
为锐二面角，∴二面角
M BN C−−
的余弦值为
6
6
. …12 分
20.
⑴由已知
4QA QC QP QC PC+ = + = =
，
根据椭圆定义可得
C
的方程为
221
4
xy+=
； …4分
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