新疆博尔塔拉蒙古自治州精河县高级中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题
2021-2022 学年第二学期期中考试
数学问卷 满分： 150 分
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知
z
1+i=2+i
，则复数
z=()
A.
1−3i
B.
−1−3i
C.
−1+3i
D.
1+3i
2. “
a=1
”是“关于
x
的方程
x2+a=2x
有实数根”的
¿
¿
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知抛物线方程
y2=2x
，那么其准线方程是
()
A.
x=−1
2
B.
y=1
2
C.
x=1
2
D.
y=−1
2
4. 已知
m
是
1
和
16
的等比中项，则圆锥曲线
x2+y2
m=1
的离心率为
()
A.
❑
√
3
2
B.
❑
√
5
C.
❑
√
5
或
❑
√
3
2
D.
❑
√
6
3
或
2❑
√
3
3
5. 若
θ
是任意实数，则方程
x2+y2sinθ=4
表示的曲线不可能是
¿
¿
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
6. 已知函数
f(x)=a x4+b x2+c
，若
f ′ (1)=2
，则
f ′ (−1)=()
A.
−1
B.
−2
C.
2
D.
0
7. 若直线
y=ax
与曲线
y=lnx
相切，则常数
a=()
A.
e
B.
1
C.
e−1
D.
❑
√
e
8. 函数
f(x)=ex− ax +1
是
R
上的单调增函数，则
a
的取值范围是
()
A.
¿
B.
(− ∞ , 0)
C.
¿
D.
(0,+∞)
9. 函数
f(x)= 1
x
在
x=2
和
x=3
处的导数的大小关系是
()
A.
f ′ (2)>f ′(3)
B.
f ′ (2)<f ′(3)
C.
f ′ (2)=f ′ (3)
D. 不能确定
10. 已知函数
f(x)=1
2x2+2x −3lnx
，则
f(x)
的单调递减区间是
()
A.
(−3,1)
B.
(0,1)
C.
(− ∞ , −3)∪(1,+∞)
D.
(1,+∞)
11. 如图所示，正方形
ABCD
和正方形
DEFG
，原点
O
为
AD
的中点，抛物线
y2=2px(p>0)
经过
C
，
F
两点，则直线
BE
的斜率为
¿
¿
A.
❑
√
2
2
B.
1−
❑
√
2
2
C.
2+❑
√
2
D.
2−❑
√
2
12. 关于函数
f(x)= 2
x+lnx
，下列说法正确的是
()
(1)x=2
是
f(x)
的极大值点
(2)
函数
y=f(x)− x
有且只有
1
个零点
(3)
存在正实数
k
，使得
f(x)>kx
恒成立
(4)
对任意两个正实数
x1
，
x2
，且
x2>x1
，若
f(x1)=f(x2)
，则
x1+x2>4
A.
(1)(2)(3)(4)
B.
(2)(4)
C.
(2)(3)
D.
(3)(4)
二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0 分）
13. 命题“
∀x∈R , x2− x +3>0
”的否定是 ．
14. 焦点在
x
轴上的椭圆
x2
m+y2
3=1
的离心率是
1
2
，则实数
m
的值是______．
15. 若
f(x)=x+2
x
在区间
¿
上是增函数，则实数
m
的取值范围是______．
16. 设函数
f(x)=lnx+k
x
，
k∈R .
若对任意的
x1>x2>0
，
f(x1)− f (x2)
x1− x2
<1
恒成立，则
k
的取值范围为______．
三、解答题（本大题共 6小题，共 70.0 分）
17. （本题 10 分）已知
i
为虚数单位，复数
z1=1−i
，
z2=3+ai(a∈R)
．
(1)
若
z1+z2
为实数，求
z1z2
的值；
(2)
若
z2
z1
为纯虚数，求
¿z2∨.
18. （本题 12 分）
(1)
求焦点在坐标轴上，长轴长为
6
，焦距为
4
的椭圆标准方程；
(2)
求与双曲线
x2
9−y2
16 =1
有共同的渐近线，且过点
(−3,2 ❑
√
3)
的双曲线标准方程．
19. （本题 12 分）已知曲线
y=x+1
x
上一点
A
的横坐标为
1
，求：
(1)
在点
A
处的切线的斜率；
(2)
在点
A
处的切线方程．
20. （本题 12 分）已知函数
f(x)=ex+a e− x
为
R
上的奇函数，其中
a
为常数，
e
是自然对数的底数．
(1)
求函数
f(x)
的解析式；
(2)
求函数
ℎ(x)=e2x+e−2x−4f(x)−2
在
¿
上的最小值，并求
ℎ(x)
取最小值时
x
的值．
21. （本题 12 分）已知函数
f(x)=lnx− ax
，
a∈R
．
(1)
讨论函数
f(x)
的单调性；
(2)
若
ℎ(x)= f(x)
x
有唯一零点，求
a
的取值范围．
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