陕西省渭南市2022-2023学年高三下学期二模数学（理）试题答案

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数学答案（理科）第 1页 共 6页
渭南市 2023 年高三教学质量检测（Ⅱ）
数学试题（理科）参考答案
一、选择题（每小题 5分，共 60 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
A
C
A
C
B
A
D
B
D
二、填空题（共 20 分）
13.
3
8
14.
1 3 4 5 0 7 24 25 0x x y x y   或 或 ，三条中任写一条即可。
15. 288
16. ①④⑤ （不全得 2分，有错为零分）
三、解答题（共 70 分）
17.（12 分）解：（Ⅰ）联结
BC
，在△ABC 中，由余弦定理可得，
，
所以
BC
=
12 1
2
 
 
，即
BC
的长度为
(km)；...................................................6 分
（Ⅱ）记 AD=a，CD=b，则在△ACD 中，由余弦定理可得：
2 2 2 cos 16
3
a b ab
 
，即
2 2 16a b ab 
，.............................................................8 分
从而
2
2
1( ) 16 6 3 2
3a b ab a b
 
 
≤
，
所以
2
1( ) 16
4a b≤
，则
8a b≤
，当且仅当
4a b 
时，等号成立；.......................10 分
新建健康步道
A D C 
的最长路程为 8(km)，
故新建的健康步道 A-D-C 的路程最多可比原有健康步道 A-B-C 的路程增加
8 2 3
 
(km)．..........................................................................................................12 分
数学答案（理科）第 2页 共 6页
18.（12 分）解：（Ⅰ）由已知
1
6, 2
X B  
 
 
，
所以
   
2 0 1 2P X P X P X P X    ≤
6 5 2 4
0 1 2
6 6 6
1 1 1 1 1 1 6 15 11
2 2 2 2 2 64 64 64 32
C C C
       
 
       
       
；……………5 分
（Ⅱ）由已知
1
,2
X B n
 
 
 
，所以
   
0.5 , 0.25E X n D X n 
，……………7 分
若
0.4 0.6
X
n
≤ ≤
，则
0.4 0.6n X n≤ ≤
，即
0.1 0.5 0.1n X n n ≤ ≤
，
即
0.5 0.1X n n≤
.…………………………………………………………………….9 分
由切比雪夫不等式
 
2
0.25
0.5 0.1 1 (0.1 )
n
P X n n n
 ≤ ≥
，
要使得至少有
98%
的把握使发射信号“1”的频率在
0.4
与
0.6
之间，则
2
0.25
1 0.98
(0.1 )
n
n
≥
，
解得
1250n≥
，所以估计信号发射次数
n
的最小值为 1250；
综上，
 
11
232
P X ≤
，估计信号发射次数
n
的最小值为 1250.…………………12 分
19.（12 分）（Ⅰ）证明：如图，取 A1C1的中点 D，连接 B1D，CD，
∵C1C＝A1A＝A1C，
∴CD⊥A1C1，………………………………………2 分
∵底面△ABC 是边长为 2的正三角形，
∴AB＝BC＝2，A1B1＝B1C1＝2，
∴B1D⊥A1C1，……………………………………………………………………………4 分
又B1D∩CD＝D，
∴A1C1⊥平面 B1CD，且 B1C平面 B1CD，
∴A1C1⊥B1C.………………………………………………………………………………6 分
（Ⅱ）解：法一 如图，过点 D作DE⊥A1C于点 E，连接 B1E.
数学答案（理科）第 3页 共 6页
∵侧面 AA1C1C⊥底面 ABC，
∴侧面 AA1C1C⊥平面 A1B1C1，又 B1D⊥A1C1，侧面 AA1C1C∩平面 A1B1C1＝A1C1，
∴B1D⊥侧面 AA1C1C，又 A1C平面 AA1C1C，
∴B1D⊥A1C，又 DE⊥A1C且B1D∩DE＝D，
∴A1C⊥平面 B1DE，∴B1E⊥A1C，
∴∠B1ED 为所求二面角的平面角，………………………………………………….9 分
∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝2，∴B1D＝
3
，
又ED＝1
2CC1＝
2
2
，∴tan∠B1ED＝B1D
ED ＝
3
2
2
＝
6
，
∴二面角 B1－A1C－C1的正弦值为
42
7
……………………………………………..12 分
法二 如图，取 AC 的中点 O，以 O为坐标原点，射线 OB，OC，OA1分别为 x，y，z轴的
正方向建立空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，B(
3
，0，0)，A1(0，0，1)，B1(
3
，－1，1)，C1(0，－2，1)，
C(0，－1，0)……………….............................................................................................7 分
∴
1 1
A B
＝(
3
，－1，0)，
1
A C
＝(0，－1，－1)，
设m＝(x，y，z)为平面 A1B1C的法向量，
∴
1 1
1
3 0
0
A B x y
A C y z
 
 
，
，
m
m
令y＝
3
，得 m＝(1，
3
，－
3
)，………………………………………………..8 分
又
OB
＝(
3
，0，0)为平面 A1C1C的一个法向量，…………………………………9 分
设二面角 B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角，
7
cos cos 7
OB
OB
OB
 
，m
m
m
，……………………………………………......11 分
则sin θ＝
42
7
，∴二面角 B1－A1C－C1的正弦值为
42
7
.…………………………..12 分
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