陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考理科数学试题 含答案

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“高考研究 831 重点课题项目”陕西省联盟学校 2023 年第一
次大联考
数学（理科）试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证
号、座位号填写在本试卷上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效．
3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．集合 ， ，则 （ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数 z与 对应的点关于实轴对称，则 z等于（ ）
A．B．C．D．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．回归直线方程为 ，则样本点的中心可以为
B．采用系统抽样，从 800 名学生中抽取一个容量为 40 的样本，则分组的组距为 40
C．“ ”是“ ”成立的充分不必要条件
D．命题 p： ， ，则 ： ，
4．二项式 的展开式中 项的系数为 10，则 （ ）
A．8 B．6 C．5 D．10
5．已知 x， ， ，则 xy 的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．某学校拟派 2名语文老师、3名数学老师和 3名体育老师共 8人组成两个支教分队，平
均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老
师，则不同的分配方案有（ ）
A．72 种B．36 种C．24 种D．18 种
7．已知圆 C： 关于直线 对称，则圆 C中 以
为中点的弦长为（ ）
A．B．C．D．
8．在 xOy 平面内，双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，
过左顶点 A且斜率为 的直线与渐近线在第一象限的交点为 M，若 ，则该
双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
9．在△ABC 中，如果 ，那么△ABC 的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
10．在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 ，则 b的
值为（ ）
A．1 B．C．D．2
11．函数 在 上有唯一的极大值，则 （ ）
A．B．C．D．
12．已知偶函数 满足 ，且当 时， ，关于
x的不等式 在 上有且只有 30 个整数解，则实数 a的取值范围
是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．曲线 在 处的切线方程为________．
14．设数列 ， 均为等差数列，它们的前 n项和分别为 ， ，若 ，
则________．
15 ． 点 A，B是 抛 物 线 C： 上 的 两 点 ， F是 抛 物 线 C的 焦 点 ， 若
，AB 中点 D到抛物线 C的准线的距离为 d，则 的最小值为________．
16．在四棱锥 中， 平面 ABCD， ，点 M是矩形ABCD 内（含边
界）的动点，且 ， ，直线 PM 与平面 ABCD 所成的 角为 ，当三棱锥
的体积最小时，三棱锥 的外接球的体积为________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分
17．（12 分）数列 为正项数列， ， ，
（I）求数列 的通项公式；
（II）若数列 满足 ， 为数列 的前项和，求证： ．
18．（12 分）如图，在四棱锥 中，底面ABCD 是正方形， ，
， ，点 E为线段PC 的中点，点 F在线段AB 上．
（I）若 ，求证： ；
（II）设平面 DEF 与平面 DPA 所成二面角的平面角为 ，试确定点 F的位置，使 得
．
19．（12 分）中国职业男篮 CBA 总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队
为总冠军，比赛就此结束．现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两
队获胜的可能性均为 ．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入 400 万元，以后每
场比赛门票收入比上一场增加 100 万元．
（I）求总决赛中获得门票总收入恰好为3000 万元的概率；
（II）设总决赛中获得门票总收入为X，求 X的数学期望 ．
20．（12 分）已知 ， 为椭圆E： 的上、下焦点， 为平面内一
个动点，其中 ．
（I）若 ，求 面积的最大值；

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