2023届陕西省铜川市高三第二次模拟考试 文科数学答案
铜川市 2023 年高三第二次质量检测
文科数学试题参考答案
一、选择题
1.解：依题意得，
∁UA={3,4 }
，于是
(
∁UA
)
∩ B={3}
．故选：
B
．
2.解：
¿z1∨¿3
，
z2=2+i
，则
¿z2∨¿❑
√
22+12=❑
√
5
，故
¿z1⋅z2∨¿∨z1∨¿z2∨¿3×❑
√
5=3❑
√
5
．
故选：
C
．
3.解：因为
1
❑
√
n+1+❑
√
n=❑
√
n+1−❑
√
n
，
故该算法的功能是求
S=(❑
√
2−1)+(❑
√
3−❑
√
2)+⋯+(❑
√
2023 −❑
√
2022)
，
S=(❑
√
2−1)+(❑
√
3−❑
√
2)+⋯+(❑
√
2023 −❑
√
2022)=❑
√
2023 −1
．故选：
D
．
4.解：如图：设
BC=2a
，
AB=2c
，
AC=2b
，
∴a2=b2+c2
，
∴SⅠ=1
2×4bc=2bc
，
SⅢ=1
2× π a2−2bc
，
SⅡ=1
2× π c2+1
2× π b2− SⅢ=1
2× π c2+1
2× π b2−1
2× π a2+2bc=2bc
，
∴SⅠ=SⅡ
，
∴P1=P2
，故选 A．
5.解：因为
0.5a=0.2b>0
，所以
lg 0.5a=lg 0.2b
，即
a lg 0.5=b lg 0.2
，
所以
a
b=lg0.2
lg0.5 =lg5
lg2>1
，所以
a>b
，
因为
log2a=0.5a=0.2b>0
，所以
a>1
，
结合
y=log2x
与
y=0.5x
的图象，因为
log2a=0. 5a
，
1<a<2
，所以
0. 5a∈
(
1
4,1
2
)
，
所以
0. 2b∈
(
1
4,1
2
)
，即
(
1
5
)
b
>1
4>1
5
，可得
b<1
，
所以
b<1<a
，故选 C．
6 解：
∵∨a
⃗
+b
⃗
∨¿❑
√
10
，
¿a
⃗
− b
⃗
∨¿❑
√
6∴
分别平方得
a
⃗2+2a
⃗
⋅b
⃗
+b
⃗2=10
，
a
⃗2−2a
⃗
⋅b
⃗
+b
⃗2=6
，
两式相减得
4a
⃗
⋅b
⃗
=10 −6=4
，即
a
⃗
⋅b
⃗
=1
，故选 A．
7.解：根据题意，甲组数据的平均数为
3
，方差为
5
，乙组数据的平均数为
5
，方差为
3
，
则两组数据混合后，新数据的平均数
x
−
=6×3+6×5
12 =4
，
则新数据的方差
S2=6
12 ¿
，故选：
D
．
8.解：
BC ⊥AC
，则
∠BCA =90 °
，在
Rt △ABC
中，
AC=1
，
BC=2
，则
AB=❑
√
A C2+B C2=❑
√
5
，
又
PA=❑
√
3
，
PB=2❑
√
2
，则
P A2+A B2=3+5=8=P B2
，即
PA ⊥AB
，
∵PA ⊥AC
，
AB∩ AC=A
，
AB⊂
平面
ABC
，
AC ⊂
平面
ABC
，
∴PA ⊥
平面
ABC
，故将三棱锥
P − ABC
放于长方体中，如图所示：
则体对角线
PB
即为三棱锥
P − ABC
的外接球的直径，即半径为
r=❑
√
2
，
∴
三棱锥
P − ABC
的外接球的表面积为
4π r2=8π
，故选：
A
．
9.解：设等比数列
{an}
的公比为
q
，
∵a2+8a5=0
，
∴a1q+8a1q4=0
，解得
q=−1
2
，
∴
数列
{1
an
}
是等比数列，首项为
1
a1
，公比为
−2
．
∴S2=1
a1
¿¿
，
S5=1
a1
¿¿
，
∴S5
S2
=−11
．故选：
A
．
10.解：由图象的对称性可知，函数
f(x)
为偶函数．
对于
A
，
f(− x )=f(x)
，
f(x)
为偶函数；
对于
B
，
f(− x )=− f (x)
，
f(x)
为奇函数，不符合题意；
对于
C
，
f(− x )=f(x)
，
f(x)
为偶函数；又
f(4)= 42
e4+e−4≤16
e4<1
，不符合题意；
对于
D
，
f(− x )=− f (x)
，
f(x)
为奇函数，不符合题意，故选：
A
．
11.解：
f(x)=−sin x(❑
√
2
2cosx −
❑
√
2
2sinx)=−
❑
√
2
2sinxcosx+❑
√
2
2sin2x=−
❑
√
2
4sin 2 x+❑
√
2
2×1−cos2 x
2=−
❑
√
2
4sin 2 x −
❑
√
2
4cos 2 x+❑
√
2
4=−1
2(❑
√
2
2sin 2 x+❑
√
2
2cos 2 x)+ ❑
√
2
4
¿−1
2sin (2x+π
4)+ ❑
√
2
4
，
当
x=−π
8
，则
2x+π
4=0
，此时
sin(2x+π
4)=0
，则函数关于
(−π
8,
❑
√
2
4)
对称，故 A错误，
当
x=π
8
，则
2x+π
4=π
2
，此时
sin(2x+π
4)=1
，则函数关于
x=π
8
对称，故 B错误，
当
x=5π
8
，则
2x+π
4=3π
2
，此时
sin(2x+π
4)=−1
，则函数关于
x=5π
8
对称，故 C正确，
当
x=3π
8
，则
2x+π
4=π
，此时
sin(2x+π
4)=0
，则函数关于点
(3π
8,
❑
√
2
4)
对称，故 D错误，
12.解：由椭圆
C
：
x2
8❑+y2
4=1
，可得
a=2❑
√
2
，
b=2
，
c=2
，由对称性可知
¿A F1∨¿∨B F2∨¿
，
∴ ，故 A正确；
设
A(− x , t)
，
B(x ,t )
，
A F1
⃗
=(−2+x , − t)
，
B F1
⃗
=(−2− x ,− t )
，
若
A F1⊥B F1
时，可得
A F1
⃗
⋅B F1
⃗
=4− x2+t2=4−(8−2t2)+t2=0
，解得
t=2❑
√
3
3
，故 B错误；
∵
直线
y=t(t∈(0,2))
与椭圆
C
交于
A
，
B
两点，
∴A
，
B
两点的坐标分别为
(−❑
√
8−2t2, t)
，
(❑
√
8−2t2, t)
，
∴S=1
2∨AB∨×d=1
2×2×❑
√
8−2t2× t=❑
√
8−2t2×t =❑
√
2×❑
√
4−t 2× t ≤❑
√
2׿¿
，当且仅当
❑
√
4− t2=t
，
即
t=❑
√
2
时取等号，故 C正确；
F
1、
F
2的坐标分别为(－2,0),(2,0)设
A(x , y)(x<0)
，当
∠F1A F2=π
3
时，
¿A F2∨+¿F1A∨¿2a=4❑
√
2
，
设
¿A F1∨¿m
，则
¿A F2∨¿n
，
∴
由余弦定理可得
m2+n2−2m× n× cos π
3=42
，
∴¿
，
∴mn=16
3
，
∴SA F 1F2=1
2mnsin π
3=4❑
√
3
3
，又
1
2×2c × y=SA F 1F2=4❑
√
3
3
，
∴y=2❑
√
3
3
，
∵
又
x2
8❑+y2
4=1
，解得
x=−4❑
√
3
3
，故 D正确．故选：
B
．
13.【答案】《三国演义
¿
》
解：由题意，若
A
说的两句话中，
甲读
《
西游记
》
正确，乙读
《
红楼梦
》
错误，则
B
说的甲读
《
水浒传
¿
错误，
丙读
《
三国演义
》
正确
⋅
则
C
说的丙读
《
西游记
》
错误，乙读
《
水浒传
》
正确，
则
D
说的乙读
《
西游记
》
错误，丁读
《
三国演义
》
正确
⋅
与
B
说的丙读
《
三国演义
》
正确相矛盾，不成立
;
若
A
说的两句话中，乙读
《
红楼梦
》
正确，甲读
《
西游记
》
错误，
则
C
说的乙读
《
水游传
》
错误，丙读
《
西游记
》
正确，则
D
说的乙读
《
西游记
》
错误，丁读
《
三国演义
¿
正确，则
B
说的丙读
《
三国演义
》
错误，甲读
《
水浒传
》
正确，则丁读
《
三国演义
》
．œœ
14.【答案】
(n −1)2n+1
解：数列
{an}
的前
n
项和为
Sn
，且点
(an, Sn)
总在直线
y=2x − 1
上，所以
Sn=2an−1
．
当
n ≥ 2
时，
Sn −1=2an −1−1
，两式相减得，
an=2an −1
，
又
∵a1=1
，所以数列
{an}
是以
1
为首项，以
2
为公比的等比数列，
∴an=2n− 1
，∴n·an=n·2n－1
则
Tn=1×20+2×21+3×22+…+n × 2n −1
，
所以
2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n ×2n
，两式相减得：
−T n=20+21+22+…+2n− 1− n ×2n=2n−1−n × 2n
．所以数列
{n·an}
的前
n
项和
Tn=(n −1)2n+1
．
15.【答案】
❑
√
17
3
解：不妨设
¿PQ∨¿3k
，
¿P F2∨¿4k(k>0)
，
因为
P
在以
F1F2
为直径的圆上，所以
P F1⊥P F2
，即
PQ ⊥P F2
，则
¿Q F2∨¿5k
，
因为
Q
在
C
的左支上，所以
¿Q F2∨+¿P F2∨−∨PQ∨¿¿
，
即
4k+5k −3k=4a
，解得
2a=3k
，则
¿P F1∨¿∨P F2∨−2a=4k −3k=k
，
因为
P F1⊥P F2
，所以
¿F1F2¿2=¿P F1¿2+¿P F2¿2
，即
4c2=17 k2
，
故
2c=❑
√
17 k
，故
e=2c
2a=❑
√
17
3
．
16.【答案】
(4
e,4)
解：
F(x)=
{
¿f(x)∨, x ≤1,
g(x), x >1,=
{
¿x2+2x −3∨, x ≤1
4lnx
x, x >1,
当
x>1
时，
F(x)= 4lnx
x
，
F ' (x)= 4−4lnx
x2
，当
x∈(1, e)
时，
F ' (x)>0
，
F(x)
单调递增；
当
x∈(e ,+∞)
时，
F ' (x)<0
，
F(x)
单调递减；可得函数
F(x)
在
x=e
处的极大值为：
4
e
，
当
x →+∞
时，图象趋近于
x
轴．函数
F(x)
的大致图象如图所示，
可知函数
y=F(x)− m
存在
3
个零点时，
m
的取值范围是
(4
e,4)
．
17.【答案】证明：
(1)
因为
1
tanA +1
tanC =1
sinB
，
所以
cosA
sinA +cosC
sinC =1
sinB
，所以
cosAsinC +sinAcosC
sinAsinC =1
sinB
，
所以
sin(A+C)
sinAsinC =1
sinB
，所以
sinB
sinAsinC =1
sinB
，所以
sin2B=sinAsinC
，
由正弦定理得
b2=ac
；
(2)
解：
cosB=a2+c2−b2
2ac =a2+c2−ac
2ac ≥2ac −ac
2ac =1
2
，
¿
当且仅当
a=c
时等号成立
¿
，
则当
a=c
时，
cosB
取得最小值
1
2
，又
B∈(0, π )
，所以角
B
最大值为
π
3
，
此时
△ABC
为等边三角形，所以
△ABC
的面积为
❑
√
3
．
18.【答案】解：
(1)
证明：取
BC
的中点
P
，连接
AP
，
PD
，如图，
在等边
△ABC
中，由题意知
AP⊥BC
，在
△BCD
中，
DB=DC
，则
PD ⊥BC
，
∵AP
，
PD ⊂
平面
ADP
，
AP∩ PD=P
，
∴BC ⊥
平面
ADP
，
∵AD ⊂
平面
ADP
，
∴BC ⊥AD
，在三棱柱
ABC −≝¿
中，AD∥BE，四边形
BCFE
是平行四边形，
则
BC ⊥BE
，
∴
四边形
BCFE
为矩形；
(2)
取
EF
的中点
Q
，连接
DQ
，
PQ
，过
D
作
DO ⊥AP
，如图，
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