2023届陕西省宝鸡市部分学校高三第十三次模拟考试 理数答案

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理科
5
2023 届高三第十三次模考数学（理科）
参考答案
一． 选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
10
11
12
答案
B
A
D
D
C
C
B
B
A
D
C
11. 【详解】A.
( ) ( ) ( ) ( )
11
πsin πsin2 πsin sin2
22
f x x x x x f x+ = + + + = − +
，故 A错误；
B.
sinyx=
，当
π2π
2
xk=+
，
Zk
时，取得最大值 1，
1sin2
2
yx=
，当
π
22π
2
xk=+
，
Zk
时，即
ππ
4
xk=+
，
Zk
时，取得最大值
1
2
，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以
( )
fx
的最大值不是
3
2
，
故B错误；
C.
( ) ( ) ( ) ( )
11
2πsin 2πsin 2 2πsin sin2
22
f x x x x x f x− = − + − = − −
，所以函数
( )
fx
的图象不关于
直线
πx=
对称，故 C错误；
D.
( )
1
sin sin2 sin sin cos 0
2
f x x x x x x= + = + =
，即
( )
sin 1 cos 0xx+=
，
 
0,2π
，
即
sin 0x=
或
cos 1x=−
，解得：
0,π,2πx=
，
所以函数
( )
fx
在区间
 
0,2π
上有 3个零点，故 D正确.
故选：D
12. 【详解】
N
是
BC
中点，
1()
2
AN AB AC = +
，
M
为
ABC
的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
22
11
| || |cos | | 4 8
22
AM AB AM AB BAM AB = = =  =
，同理可得
2
1| | 18
2
AM AC AC = =
，
1 1 1 1 1
( ) 8 18 13
2 2 2 2 2
AM AD AM AB AC AM AB AM AC = + = + =  + =
.
故选：C
二、填空题
13．
( )
,3−
14．0.5 15．
1
4
，
11
n-
24
. 16．2
三、解答题：
三、解答题：（本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分 12 分）
x
y
1
1
2
2
理科
6
设函数
( ) 2sin( )
63
f x x

=+
.
(1）列表并画出
( ), [ 2,10]y f x x=  −
的图象；
(2）求函数
( ) (1 ) (4 )g x f x f x= + + −
在区间[0,6]上的值域.
解析:(1)列表:
……3分
作图:
……………………6分
(2)由已知
( ) (1 ) (4 )g x f x f x= + + −
=
2sin( ) 2sin( ) 2cos 2sin 2 2sin( )
6 2 6 6 6 6 4
x x x x x
   
+ + − = + = +
由已知
5
4 6 4 4
x
 
+ 
∴
2sin( ) 1
2 6 4
x

− + 
∴
2 ( ) 2 2gx− 
∴函数
( ) (1 ) (4 )g x f x f x= + + −
在区间[0,6]上的值域是
[ 2,2 2]−
. …………12 分
18.（本小题满分 12 分）
根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：
立定跳远单项等级
高三男生
高三女生
优秀
260 及以上
194 及以上
良好
245~259
180~193
及格
205~244
150~179
63
x

+
0
2
32
2
x
-2
1
4
7
10
y
0
2
0
-2
0
x
y
1
1
2
2
理科
7
不及格
204 及以下
149 及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取
12
名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到
1cm
）：
男生
180
205
213
220
235
245
250
258
261
270
275
280
女生
148
160
162
169
172
184
195
196
196
197
208
220
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项
的
优秀率；
（2）从该校全体高三男生中随机抽取
2
人，全体高三女生中随机抽取
1
人，设
X
为这
3
人中立定跳远单
项等级为优秀的人数，估计
X
的数学期望
( )
EX
；
（3）从该校全体高三女生中随机抽取
3
人，设“这
3
人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件
A
，“这
3
人的立定跳远单项至多有
1
个是优秀”为事件
B
．判断
A
与
B
是否相互独立．（结论不要求证明）
解析：（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为
4
，获得优秀的女生人数为
6
，
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为
41
12 3
=
；
估计高三女生立定跳远单项的优秀率为
61
12 2
=
．…………4分
（2）由题设，
X
的所有可能取值为
0,1, 2,3
．
( 0)PX=
估计为
2
2 1 2
()
3 2 9
=
；
( 1)PX=
估计为
12
21 2 1 2 1 4
C ( )
3 3 2 3 2 9
  + =
；
( 2)PX=
估计为
12
21 2 1 1 1 5
C ( )
3 3 2 3 2 18
  + =
；
( 3)PX=
估计为
2
1 1 1
()
3 2 18
=
．
估计
X
的数学期望
( )
2 4 5 1 7
0 1 2 3
9 9 18 18 6
EX=  +  + + =
．…………8分
（3）
()PA
估计为
22
12
33
1 1 1 1 3
CC
2 2 2 2 4
   
  + =
   
   
；
()PB
估计为
23
10
33
1 1 1 1
CC
2 2 2 2
   
  + =
   
   
；
()P AB
估计为
2
1
31 1 3
C2 2 8

  =


，
( ) ( ) ( )P AB P A P B=
，所以
A
与
B
相互独立．…………12 分
19.（本小题满分 12 分）
如图，在长方体
1 1 1 1
ABCD ABC D−
中，
12AA AD==
，
1
BD
和
1
BD
交于点
E
，
F
为
AB
的中点.
（1）求证：
EF
平面
11
ADD A
；
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