河北省保定市2024届高三第一次模拟考试 数学参考答案

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1
2024 年高三一模数学试题参考答案
一、选择题：
1．B 2．A 3.D 4.B 5.C 6．A 7.C 8．D
8.【参考解析】因为 ，，所以

，
设  
，则 
，
令，则 ，令，则，
所以 在上单调递增，在 上单调递减，
因为
，4，，
所以 ，故选：D
二、选择题：
9.AC 10.ABD 11．BCD
11.【参考解析】对于 A，令，则  
因为，所以 ，则，
故 A 错误；
对于 B，令，则 ，
则，故 B 正确；
对于 C，令得， ，
所以 ，
令得，，
则的图像关于点
，
对称，故 C 正确；
对于 D，由得，
又，所以 ，
则，，
所以，则函数的周期为 ，
又 ， , 
，
 ，
则 ，
所以 

，
故 D 正确，故选：BCD.
三、填空题：
12．> 1 13. 2
214．

14.【参考解析】如图所示．由题意得球
O
的球心为底面△
BCD
的中心，设正四面体
A
－
BCD
的棱长为
a
，
则球
O
的半径
，所以
，
由于
OA
⊥
OB
，所以

，
在 Rt△
ABO
中，过
O
作
AB
的垂线
OH
，
2
则1
2
OH
·
AB
＝1
2
OB
·
OA
，则
 
，
利用勾股定理
BH
2＋
OH
2＝
OB
2，得
，同理
，所以
，
因为
BB
1
AB
＝2
3，
AB
1
AB
＝1
3，
所以
三棱锥

三棱锥
 ＝1
27，三棱台
B
1
C
1
D
1－
BCD
的体积
三棱台
－
＝26
27
V
三棱锥
A
－
BCD
＝26
27
所以 三棱锥 
三棱台
故答案为：

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）
解：（1）因为
     
 
2
2
2 2
2 2 2 2 2
1 1
1
1 1 1 x
x
x x x ae
ae x
ae x ae x
f x x x x x x x
   
 
 
，......3 分
由已知
 
1
24
f
， 即
1 1
4 4
a
， ....................4 分
解得
2a
....................5 分
（2）
2a
则
   
 
2
2
1 2 1 0
x
x e
f x x
 
 
，
解得
1x
或
2 ln 2x 
....................7 分
当
时，
1 0x 
，
2
2 1 0
x
e 
，则
 
0
xf
； ....................8 分
当
1 2 ln 2x  
时，
1 0x 
，
2
2 1 0
x
e 
，则
 
0f x
；....................9 分
当
2 ln 2x 
时，
01 x
，
2
2 1 0
x
e 
，则
 
0
xf
，....................10 分
所以
 
xf
的单调递增区间为
 
0，1
和
 
2 ln 2  ，
，....................11 分
减区间为
 
1，2-ln2
...................12 分
函数
 
xf
的极大值为
 
2
1 1fe
 
....................13 分
16.（15 分）
解:（1）证明：在󰒮中，由 ，，
得，所以，...................3 分
又因为平面
所以...................4 分
所以平面...................5 分
所以平面平面...................6 分
（2）解在三棱柱中，取
1
BB
的中点，连接，
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3
在󰒮中，由 ，，得
1
CD BB
，，...................7 分
且,得，即∠为二面角的平面角，...................8 分
在󰒮中，∠
  ，解得 ，...................9 分
由（1）知，平面 ，
1
BC CB
，
以为原点，直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，
 ，
(0, 2,0)B
， ，

=  ，
 ，

  ,...................11 分
设平面的法向量为，
则
  
  ，
令 ，得
  ，...................12 分
设直线
与平面所成的角为，
则




 
，...................14 分
所以与平面所成的角的正弦值为 
....................15 分
17. （15 分）
解：（1）每部电影至少有一人去看，五名同学去看三部电影所有可能情况有
150
3
3
3
5
3
3
2
2
2
3
2
5ACA
A
CC
种，...................2 分
只有甲、乙看《热辣滚烫》的共有
2 2
3 2 6C A
种，...................4 分
只有甲、乙去看《热辣滚烫》电影的概率
1
6 1
150 25
p 
；...................6 分
（2）设去看《热辣滚烫》的人数为
，
的可能取值为 1，2，3
 
15
7
150
70
150
)(
1
2
2
3
4
2
2
2
4
1
5
ACCCC
P
，...................8 分
 
5
2
150
60
150
2
2
2
2
3
2
5ACC
P
，...................10 分
 
15
2
150
20
150
3
2
2
3
5AC
P
，...................12 分
随机变量
的分布列为：
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