2024届重庆市普通高中学业水平选择性考试高三第一次联合诊断检测 数学答案

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第一次联合诊断检测（数学）第 5 页 共 9 页
2024 年普通高等学校招生全国统一考试
高三第一次联合诊断检测 数学参考答案
一、单选题
1～8 BAADCACD
8题解析：易证
( )
f x
是增函数， 2 2
( 4 ) (2 ) [( 4 ) 2 ] 2
f ax x f x f ax x x
  
2
( 2 ) 2 1
f ax x
 
，所以
2
( 2 ) 1
f ax x
．令
0
x y
 
，得
(0) 2
f
；令
1 1
x y
 
，，得
( 1) 0
f
 
；令
1 1
x y
   
，，
得
( 2) 2
f
 
； 令
2 1
x y
   
，， 得
( 3) 4
f
 
； 令
3
2
x y
 
， 得 3
( ) 1
2
f
 
， 所 以
2
3
2
2
ax x
 
．原问题即 2
4 3
2
x
a
x
在
[1 2]
，
有解．令
1
t
x
，则 2
2 3 4
a t t
 
在1
[ 1]
2
t
，
时有
解，从而
4
2 [1 ]
3
a
，
，
1 2
[ ]
2 3
a
，
．
二、多选题
9．BCD 10．BC 11．BC 12．ABD
12 题解析：由 2 2
a b ab a b
 
，得 2
( ) ( )
a b a b ab
 
．因为
a b
，
是正数，所以
0
ab
，从而
2
( ) ( ) 0
a b a b
 
，解得
1
a b
 
．因为
a b
，所以
2
( )
4
a b
ab
，
从而
2
2
( )
( ) ( )
4
a b
a b a b
   ，解得
4
3
a b
 
．因为
4
1
3
a b
 
，
所以 2
4
( ) ( ) (0 )
9
ab a b a b  
，
，从而
1
2
ab
．故选 ABD．
三、填空题
13．
1
2
14．
(1 3)
，
15．
4
16．
2
6
16 题解析：设双曲线的焦距为
2
c
，点
1 1
( )
M x y
，
，
2 2
( )
N x y
，
，则 2 2 1 2
| | | | | | ( ) 2
c
MN MF NF x x a
a
 
1 2
2( ) 2
x x a
 
．由题意，直线
MN
的方程为
3( )
y x c
 
，代入
2 2 2
x y a
 
得
2 2
2 6 2 7 0
x ax a
 
， 所 以 1 2
3 2
x x a
  ，从而
| | 4
MN a
．
1
MNF
△的 周 长 为
1 1
| | | | | | 4 2 | | 12
MF NF MN a MN a
 
，由题意，
1
12
a．所以焦距
2
2 2 2
6
c a ．
{#{QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNABCA=}#}
第一次联合诊断检测（数学）第 6 页 共 9 页
四、解答题
17．（10 分）
解：（1）设
n
a
的公差为
d
，由题意，得 1
4 1
a d
 
，1
2 16 2
a d
 
．
所以 1
3
a
，
1
2
d
 
，故 1 7
3 ( 1)
2 2
n
n
a n
  ． ……5分
（2）由题意， 1
[ ] 3
a
，2 3
[ ] [ ] 2
a a
 
，4 5
[ ] [ ] 1
a a
 
，……， 10 11
[ ] [ ] 2
a a
 
．
11 1 2 3 4 5 10 11
T b b b b b b b
 
3 2 2
2 2(2 2 2 )
 
1
23
2
．
所以 11
[ ] 23
T
． ……10 分
18．（12 分）
解：（1）零假设
0
H
：对“腊八节”民俗的了解程度与年龄相互独立．
由题意，得
2
2100(16 44 16 24) 100
2.706
40 60 32 68 51
 
 
   ．
根据小概率值
0.1
的独立性检验，没有充分证据推断
0
H
不成立，
即认为对“腊八节”民俗的了解程度没有年龄差异． ……5分
（2）设选择题部分和填空题部分答对题目分别为
X
和
Y
．
因为
X
服从
(5 0.8)
B，，所以
5 0.8 4
EX
 
．
由题意，
Y
的可能取值为
1
，
2
，
3
．
1 2
3 2
3
5
3
( 1)
10
C C
P Y C
 
，
2 1
3 2
3
5
3
( 2)
5
C C
P Y C
 
，
3
3
3
5
1
( 3)
10
C
P Y C
  ．
所以 3 3 1
2 3 1.8
10 5 10
EY   ．
该受调者答对题目数量的期望为
( ) 4 1.8 5.8
E X Y EX EY
 
个． ……12 分
19．（12 分）
解：（1）由题意，
2sin sin 1
sin
cos 2
a B C
S ab C
A
，
因为
0
a
，
sin 0
C
，所以 1
sin cos
2
a B b A
．
由正弦定理，得 1
sin sin sin cos
2
A B B A
，
因为
sin 0
B
，所以 1
sin cos
2
A A
，故
1
tan
2
A
． ……5分
（2）由（1）得
5
sin
5
A，
2 5
cos
5
A，所以
2 5
cos( ) cos
5
B C A     ，
由
cos( ) cos cos sin sin
B C B C B C
 
，及
5
cos cos
5
B C   ，得
5
sin sin
5
B C ．
{#{QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNABCA=}#}
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