广东省新南方联盟2024届高三下学期4月联考试题 数学 含答案
广东省新南方联盟 2024 届高三 4月联考
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号和座位号填写在答题卡指定区域内，并用 2B 铅笔
填涂相关信息。
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他
答案标号，答在问卷、草稿纸上则答案无效。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，
先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
一、单选题（共 40 分）：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。
1. 如图，在复平面内，复数 对应的向量分别是 ， ，则 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2. 已知集合 ，则 的真子集数量是（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量 与 能作为平面向量的一组基底，若 与 共线（ ），则 的值是（ ）
A．B．C．D．
4．名同学以 人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价，则所有可能的分组方案数量是（ ）
A．B．C．D．
5．设函数 ，若将 的图象向左平移 个单位长度后在 上有且只有两个零点，则
ω
的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．以下什么物体能被整体放进底面半径为 ，高为 的圆柱中
A．底面半径为 ，母线长为 的圆锥 B．边长为 的正二十面体
C．底面半径为 ，高为 的圆柱 D．底面积为 ，高为 的直三棱柱
7．设数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，
则使 的最小 是（ ）
A．B．C．D．
8. 已知 ，则 的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（共 18 分）：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
9．已知 ，且 ，则下列不等式中成立的有（ ）
A．B．
C．D．
10．抛物线 焦点为 ，且过点 ，斜率互为相反数的直线 ， 分别交 于另一点 和 ，则下
列说法正确的有（ ）
A．直线 过定点
B． 在 两点处的切线斜率和为
C． 上存在无穷多个点到点 和直线 的距离和为
D．当 都在 点左侧时， 面积的最大值为
11. 已知函数 ， 的定义域为 ， 的导函数为 ，且 ， ，若
为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若存在 使 在 上单调递增，在 上单调递减，则 的极小值点为
D．若 为偶函数，则满足题意的 唯一，满足题意的 不唯一
三、填空题（共 15 分）：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12. 在 中， 分别为角的对边， ，则 的值是________.
13. 已知在平面直角坐标系中，一双曲线的图象可以通过旋转和平移变换为 （ 为关于 的函数）的图象，
则双曲线的离心率的取值范围是________.
14. 设函数 的零点为 ，则当 的取值为 时， 的最大值为 .
四、解答题（共 77 分）：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
数列 满足.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足，求数列 的前 项和.
16．（15 分）
如图，四棱锥 的底面是矩形，侧棱 底面 ， 是 的中点，
（1）证明：∥平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
17．（15 分）
某厂有 组生产用设备，由于设备使用时间过长，每组设备在一个月内均有 的故障率。现该厂制定设备翻新计划，每个
月月初有 的概率在剩余未改造设备中随机抽取一组并在月底翻新，但月内若有设备发生故障，则无论本月有无翻新计
划及是否抽到该设备，故障的设备都将立即翻新，且该月内不再因为故障翻新其它设备（但若发生故障的不是已经在送
修计划内的设备，则计划翻新仍将正常进行），若再有设备发生故障则将会维修（但暂不翻新）后重新投入生产.
（1）求第一个月恰好翻新一组设备的概率；
（2）设第一个月结束后，已翻新的设备数量为随机变量 ，求 的均值.
18．（17 分）
设函数 ， .
（1）当 时，比较 和 的大小关系；
（2）证明： 的图象与 的图象关于直线 对称；
（3）在平面直角坐标系中，若以 为圆心的圆交 的图象于 两点，证明：.
19．（17 分）
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