广东省深圳市2024年4月高三第二次调研考试数学试卷参考答案

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数学试题参考答案及评分标准 第1页 共7页
2024 年深圳市高三年级第二次调研考试
数学试题参考答案及评分标准
本试卷共 4页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
D
B
C
C
B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12． 5 13． 8π 14．
π
3
；
3
( , )
3
（注：第一空 2分，第二空 3分）
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
如图，三棱柱
中，侧面
11
BB C C
底面
ABC
，且
AB AC
，
11
A B A C
．
（1）证明：
1
AA
平面
ABC
；
（2）若
12AA BC
，
90BAC  
，求平面
1
A BC
与平面
11
A BC
夹角的余弦值．
证明：（1）取
BC
的中点
M
，连结
MA
、
1
MA
．
因为
AB AC
，
11
A B A C
，所以
BC AM
，
1
BC A M
．
由于
AM
，
1
AM
平面
1
A MA
，且
1
AM A M M
，
因此
BC
平面
1
A MA
．…………………………………………………2分
因为
1
AA
平面
1
A MA
，所以
BC
1
AA
．
又因为
1//AA
1
BB
，所以
1
B B BC
，
因为平面
11
BB C C
平面
ABC
，平面
11
BB C C
平面
ABC BC
，
且
1
BB
平面
11
BB C C
，所以
1
BB
平面
ABC
．
因为
1//AA
1
BB
，所以
1
AA
平面
ABC
．…………………………………………………………6分
解：（2）（ 法一）因为
90BAC  
，且
2BC
，所以
2AB AC
．
题号
9
10
11
答案
AB
ACD
ABD
A
B
C
1
A
1
B
1
C
M
{#{QQABLQSQgggAAJJAABgCQQ1iCEEQkAECACoOQBAMsAAByBNABAA=}#}
数学试题参考答案及评分标准 第2页 共7页
以
AB
，
AC
，
1
AA
所在直线分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
1(0,0,2)A
，
( 2,0,0)B
，
(0, 2,0)C
，
1(0, 2,2)C
．
所以
1( 2,0, 2)AB
，
1(0, 2, 2)AC
，
11 (0, 2,0)AC
． ………………………………………8分
设平面
1
A BC
的法向量为
1 1 1
( , , )x y zm
，则
1
1
0
0
AB
AC


m
m
，可得
11
11
2z 0
20
x
yz


，令
11z
，则
( 2, 2,1)m
，
设平面
11
A BC
的法向量为
2 2 2
( , , )x y zn
，则
1
11
0
0
AB
AC


n
n
，可得
22
2
20
0
xz
y

，令
21z
，则
( 2,0,1)n
，……12 分
设平面
1
A BC
与平面
11
A BC
夹角为
，
则
| | 3 15
cos | || | 5
53
 
mn
mn
，
所以平面
1
A BC
与平面
11
A BC
夹角的余弦值为
15
5
．
…………………………………………13 分
（法二）将直三棱柱
1 1 1
ABC A B C
补成长方体
1 1 1 1
ABDC A B D C
．
连接
1
CD
，过点
C
作
1
CP C D
，垂足为
P
，再过
P
作
1
PQ A B
，垂足为
Q
，连接
CQ
.
因为
BD
平面
11
CDD C
，且
CP
平面
11
CDD C
，
所以
BD CP
．
又因为
1
CP C D
，由于
BD
，
1
CD
平面
11
A BDC
，且
1
BD C D D
，
所以
CP
平面
11
A BDC
．
由于
1
AB
平面
11
A BDC
，所以
1
A B CP
.
因为
CQ
，
PQ
平面
CPQ
，且
CQ PQ Q
，
所以
1
AB
平面
CPQ
．
因为
CQ
平面
CPQ
，
所以
1
CQ A B
．
则
CQP
为平面
1
A BC
与平面
11
A BC
的夹角或补角，
………………………………………………11 分
在
1
A BC△
中，由等面积法可得
30
3
CQ
．
因为
11 2PQ A C
，所以
15
cos 5
PQ
CQP CQ
 
，
因此平面
1
A BC
与平面
11
A BC
夹角的余弦值为
15
5
．
………………………………………………13 分
16．（15 分）
已知函数
( ) ( 1)ex
f x ax
，
()fx
是
()fx
的导函数，且
( ) ( ) 2ex
f x f x

．
（1）若曲线
()y f x
在
0x
处的切线为
y kx b
，求
k
，
b
的值；
（2）在（1）的条件下，证明：
()f x kx b
．
C1
A
B
B1
C
A1
z
x
y
M
C1
A
B
B1
C
A1
P
Q
D
D1
{#{QQABLQSQgggAAJJAABgCQQ1iCEEQkAECACoOQBAMsAAByBNABAA=}#}
数学试题参考答案及评分标准 第3页 共7页
解：（1）因为
( ) ( 1)ex
f x ax
，所以
( ) ( 1)ex
f x ax a
 
，
…………………………………………2分
则
( ) ( ) ex
f x f x a

．
因为
( ) ( ) 2ex
f x f x

，所以
2a
． …………………………………………4分
则曲线
()y f x
在点
0x
处的切线斜率为
(0) 3f
．
又因为
(0) 1f
，
所以曲线
()y f x
在点
0x
处的切线方程为
31yx
，
即得
3k
，
1b
． ………………………………………………………………………………………6分
（2）证：设函数
( ) (2 1)e 3 1
x
g x x x  
，
xR
，
则
( ) (2 3)e 3
x
g x x
 
． ………………………………………………………………………………8分
设
( ) ( )g x h x
，则
( ) e (2 5)
x
h x x

， ………………………………………………………10 分
所以，当
5
2
x
时，
( ) 0hx
，
()gx
单调递增．
又因为
(0) 0g
，
所以，
0x
时，
( ) 0gx
，
()gx
单调递增；
50
2x  
时，
( ) 0gx
，
()gx
单调递减．
又当
5
2
x
时，
( ) (2 3)e 3 0
x
g x x
 
，
综上
()gx
在
( , 0)
上单调递减，在
(0 , )
上单调递增，
……………………………………13 分
所以当
0x
时，
()gx
取得最小值
(0) 0g
，
即
(2 1)e 3 1 0
x
xx  
，
所以，当
xR
时，
( ) 3 1f x x
． ……………………………………………………………15 分
17．（ 15 分）
某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽
样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；
若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 97%．
（1）从混合放在一起的零件中随机抽取 3个，用频率估计概率，记这 3个零件中来自甲工厂的
个数为
X
，求
X
的分布列和数学期望；
（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提
高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的
条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．
设事件
A
“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件
B
“该大型企业把零件交给甲工厂
生产”．已知
0 ( ) 1PB
，证明：
( | ) ( | )P A B P A B
．
解：（1）设甲工厂试生产的这批零件有
m
件，乙工厂试生产的这批零件有
n
件，
事件
M
“混合放在一起零件来自甲工厂”， 事件
N
“混合放在一起零件来自乙工厂”，
{#{QQABLQSQgggAAJJAABgCQQ1iCEEQkAECACoOQBAMsAAByBNABAA=}#}
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