广东省汕头市金山中学2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 参考答案

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2023 级高一第一学期期末考试数学试卷参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
D
D
A
C
A
A
AD
BC
CD
BC
4 ;
4
;
3
;
;
17 解：
(1)
当
3a
时，
 
4 7P x x 
，
4
RP x x ð
或
7x
，
解不等式
23 10x x
得：
2 5x 
，即
 
2 5Q x x  
，所以
 
 
2 4
RP Q x x  ð
.…4分
(2)
若“
x P
”是“
x Q
”的充分不必要条件，即 P Q ，
当
P 
时，即
1 2 1a a 
，
0a
，满足条件；……6 分
当
P 
时，即
1 2 1a a 
，
0a
，有
1 2
2 1 5
a
a
 
(
等号不同时成立
)
，解得：
0 2a 
；
即实数 a的取值范围为
 
| 2a a
.……10 分
18 解：
1
(1) tan , 0,
4 3 4
 
 
 
 
 
 
，
1 tan 1
1 tan 3
 
，解得
1
tan 2
，……2 分
2 2 2
2
2 2 2
sin 2 2cos 2cos (sin cos ) 2cos 2
2cos
1 tan sin cos sin cos 1 tan
 
 
 
 
 
8
5
；……6 分
(2) 0, 2
 
 
 
，且
10
sin 10
，
3
cos 10
 
，
1
tan .
3
 
……8 分
 
1 1
tan tan 2 3
tan 1
1 1
1 tan tan 12 3
 
   
 
   
， ……10 分
又
3
0, 4
 
 
  
 
，
.
4
 
 
……12 分
19 解：
(1)
设
( ) sin( )h t A t b
 
 
，由题意得：
8A
，
12T
，
10b
；
则
2
6T
 
 
，当
0t
时，
2h
，即
sin 1
 
；因此，
2
 
；
因此，
( ) 8sin( ) 10
6 2
h t t
 
 
，
0t
； ……6 分
(2)
由题意：
( ) 14h t
，即：
8sin( ) 10 14
6 2
t
 
 
；则：
1
cos 6 2
t
 
；……9 分
又因为
0 12t 
，所以
4 8.t 
……12 分
20 解：
 
 
 
22 2
2 2
2 2 2 2
(1) log 1 log 1 log 4log 2g x f x f x x x x x  
 
 
，
因为
 
2g x
，则
 
2
2 2
log 4log 2 2x x  
，即
2
2 2
(log ) 4log 0x x 
……2 分
则
2
log 0x
或
2
log 4x 
，解得
1x
或
1
16
x
，
所以方程
 
2g x
的解集为
1
{1, }
16
； ……5 分
(2)
对
[1,16]x 
，
1 ( ) 5f x 
，设
( ),1 5k f x k 
，
所以不等式
   
2
2
log 4f x x m f x  
 
 
对于
[1,16]x 
恒成立等价于
不等式
23k k mk  
对于
[1,5]k 
恒成立，即
31m k k
 
对于
[1,5]k 
恒成立，……8 分
设
 
31h k k k
 
，
[1,5]k
，由基本不等式可知，当
3k
时，
( )h k
取得最小值
2 3 1
，…11 分
2 3 1m 
， ∴m的取值范围为
 
,1 2 3 . 
……12 分
21 解：
 
23
(1) sin cos 3 cos 2
f x x x x
 
 
1 3
sin 2 cos 2
2 2
x x
 
 
sin 2 3
x
 
 
 
 
，……3 分
由题意可得周期
T
，即
2
2
，
1
 
，……4 分
 
sin 2 3
f x x
 
 
 
 
，由
 
23 2
x k k
 
  Z
，得
 
5.
2 12
k
x k
 
Z
所以函数
 
y f x
图象的对称轴方程为
 
5.
2 12
k
x k
 
Z
……6 分
(2)
由函数
 
1
3
y f x 
在
 
0,
上的零点为
1
x
，
2
x
，不妨设
1 2
0x x
 
，
可知
1 2
1
sin (2 ) sin (2 ) 0
3 3 3
x x
 
   
，且
1 2
5 2
0 .
12 3
x x
 
 
易知
 
 
1 1
,x f x
与
 
 
2 2
,x f x
关于
5
12
x
对称，则
1 2
5
6
x x
 
，……9 分
 
1 2 1 1
5
cos cos 6
x x x x
 
 
 
 
 
 
 
1
5
cos 2 6
x
 
 
 
 
1
cos 2 3 2
x
 
 
 
 
 
 
 
 
1
sin 2 3
x
 
 
 
 
1.
3
…12 分
22 解：Ⅰ由题意知，  ，即   在上有解，
令 
，
  ，则  ，则  在  上有解，……2 分
即  
 
在  上有解，……3 分
根据对勾函数的图象与性质得，  
在 上单调递减，在 上单调递增，
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