广东省衡水金卷2024届高三下学期2月大联考试题 数学 含解析

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2024 届高三年级 2月份大联考
数学试题
本试卷共 4页，19 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知在 中， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
3．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．若定义在 上的函数 满足 ，则下列结论一定正确的为（ ）
A． 的图象关于原点对称 B． 的图象关于 y轴对称
C． 的图象关于点 对称 D． 的图象关于直线 对称
6．已知点 P是曲线 在第一象限内的一点，A为 的左顶点，R为PA 的中点，F为 的右焦点．
若直线 OR（O为原点）的斜率为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在某电路上有 C、D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换 C元件的概率为 0.2，需要更换 D元件
的概率为 0．1，则在某次通电后 C、D有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．在各棱长都为 2的正四棱锥 中，侧棱 VA 在平面 VBC 上的射影长度为（ ）
A． B． C． D．2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 6分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分。
9．若 z满足 ，则（ ）
A．z的实部为 3 B．z的虚部为 1
C． D．z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为 3
10．已知 ，则（ ）
A．若 ，则存在唯一的实数 p，q，使得
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 在 上的投影向量为
11．若过点 可作曲线 的 n条切线 ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，且 ，则
C．若 ，则
D．过 ，仅可作 的一条切线
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12．如图是一个正四棱台 ，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为 2和6，体积为
，则侧面积为_________．
13．在数列 中， ，且 ，则 的通项公式为_________．
14．若圆 C与抛物线 在公共点 B处有相同的切线，且 C与y轴切于 的焦点 A，则 _
________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13 分）
某小区在 2024 年的元旦举办了联欢会，现场来了 1000 位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽
取了 20 位幸运居民进入摸奖环节，这 20 位幸运居民的年龄用随机变量 X表示，且 ．
（1）请你估计现场年龄不低于60 岁的人数（四舍五入取整数）；
（2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为 ，摸到二等奖的概率为 ，每个人
摸奖相互独立，设恰好有n（ ）个人摸到一等奖的概率为 ，求当取得最大值时 n的值．
附：若 ，则 ．

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