广东省2024届高三春季高考模拟卷（2） 数学 PDF版含解析

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2024 年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试
数学冲刺卷（二）
本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 90 分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、考场号和座位号
写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右
上角“条形码粘贴处”。
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 6 分，共 72 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1． “ a+b＜ 0” 是 “ a＜ 0， b＜ 0” 的 （ ）
A． 充 分 而 不 必 要 条 件 B． 充 要 条 件
C． 必 要 而 不 充 分 条 件 D． 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件
2． 已 知 = （ -2,1 ） ， =（ x， -2） ， 若 ∥
， 则 x=（ ）
A． 1 B． -1 C． 4 D． -4
3． 函 数
（ e 为 自 然 对 数 的 底 数 在 ［ -2,2 ］ 的 大 致 图 象 是 （ ）
A． B．
C． D．
4． 已 知  =4 2+3， 则   =（ ） ．
A． 2-2 +4 B． 2+2 C． 2-2 -1 D． 2+2 +4
5． 从 装 有 2 个 红 球 和 2 个 黑 球 的 口 袋 内 任 取 2 个 球 ， 那 么 互 斥 而 不 对 立 的 两 个 事 件 是
（ ）
A． 至 少 有 一 个 黑 球 与 都 是 黑 球 B． 至 少 有 一 个 黑 球 与 都 是 红 球
C． 恰 有 一 个 黑 球 与 恰 有 两 个 黑 球 D． 至 少 有 一 个 黑 球 与 至 少 有 一 个 红 球
6 ． 已 知 a=
， b = ， c=， ， 则 （ ）
A． a＜ b＜ c B． b＜ a＜ c C． b＜ c＜ a D． c＜ b＜ a
7． 命 题 “ x＜ 0 ， x 2+2x-m ＞ 0 ” 的 否 定 是 （ ）
A． x＜ 0， x2+2 x-m ＞ 0 B ． x≤ 0， x2+2 x-m ＞ 0
C． x＜ 0， x2+2 x-m ≤ 0 D ． x＜ 0， x2+2 x-m ≤ 0
8． 已 知 角 α 是 第 一 象 限 角 ， cos α =
， 则 cos （ α +
） =（ ）
A．
B．  
C．  
D．  
9． 已 知 正 实 数 m， n 满 足 m+n= 1， 则 +的 最 大 值 是 （ ）
A． 2 B． C．
D．
10 ． 如 图 ， 在 长 方 体 ABCD-A 1B1C1D1中 ，
BCDA
V
1
=（ ）
A． 60 B． 30 C． 20 D． 10
11 ． 已 知 复 数 z=1+i 2+i 3+i 4， 则 z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 （ ）
A． 第 一 象 限 B． 第 二 象 限 C． 第 三 象 限 D． 第 四 象 限
12 ． 设 全 集 U=R， M={x｜ x2＞ 4} ， N={x ｜
≤1}都 是 U 的 子 集 ， 则 图 中 阴 影 部 分 所 表
示 的 集 合 是 （ ）
A． {x ｜ x＜ 2} B． {x ｜ -2≤ x≤ 2} C． {x ｜ 1＜ x≤ 2} D． {x｜ -2 ≤ x ＜ 1}
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分）
13 ． ta n
- sin
=.
14 ． 已 知 函 数   ｜｜   
   ， 则   
= .
15 ． 已 知 一 个 圆 锥 的 轴 截 面 是 斜 边 长 为 2 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 则 该 圆 锥 的 侧 面 积
为 .
16 ． 已 知 复 数 z=m 2- （ 1-i ） m 为 纯 虚 数 ， 则 m= .
17 ． 设 一 组 样 本 数 据 x 1， x 2， ... ， x n的 平 均 数 是 3， 则 数 据 2x1+1 ， 2x 2+1 ， .. . ， 2x n+1
的 平 均 数 为 .
18 ． 在 △ ABC 中 ， N 是 AC 边 上 一 点 ， 且 =
， P 是 BN 上 的 一 点 ， 若 =m +
，
则 实 数 m 的 值 为 ．
三、解答题（本大题共 4 个大题，第 19－21 题各 10 分，第 22 题 12 分，共 42 分。解答须
写出文字说明、证明过程和演算步骤）
19 ． 如 图 ， △ ABC 是 等 边 三 角 形 ， 点 D 在 边 BC 的 延 长 线 上 ， 且 BC=2CD ， AD= ．
（ 1） 求 AB 长 度 ；
（ 2 ） 求 si n ∠ BAD 的 值 ．
20 ． 某 市 司 法 部 门 为 了 宣 传 《 宪 法 》 举 办 法 律 知 识 问 答 活 动 ， 随 机 对 该 市 18 ～ 68 岁 的
人 群 抽 取 一 个 容 量 为 n 的 样 本 ，并 将 样 本 数 据 分 成 五 组 ：［ 18,28 ），［ 28,38 ），［ 38,48 ），
［ 48,58 ） ，［ 58,68 ） ，再 将 其 按 从 左 到 右 的 顺 序 分 别 编 号 为 第 1 组 ， 第 2 组 ， … ， 第
5 组 ，绘 制 了 样 本 的 频 率 分 布 直 方 图 ；并 对 回 答 问 题 情 况 进 行 统 计 后 ，结 果 如 下 表 所 示 .
组 号
分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例
第1组［18,28）50.5
第 2 组 ［ 2 8, 38 ） 18 a
第 3 组 ［ 3 8, 48 ） 27 0. 9
第4组［48,58）x0.36
第5组［58,68）30.2
（1）分别求出a，x的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组
应各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取
的人中第2组至少有1人获得幸运奖概率.
21 ． 经 市 场 调 查 ， 东 方 百 货 超 市 的 一 种 商 品 在 过 去 的 一 个 月 内 （ 以 30 天 计 算 ） ， 销 售
价 格 f（ t） 与 时 间 （ 天 ） 的 函 数 关 系 近 似 满 足 f（ t） =100（ 1+
） ， 销 售 量 g（ t） 与
时 间 （ 天 ） 的 函 数 关 系 近 似 满 足 g（ t） = （  ＜，  ）
（    ，  ）
（ 1） 试 写 出 该 商 品 的 日 销 售 金 额 W（ t） 关 于 时 间 t（ 1≤ t≤ 30 ， t∈ N） 的 函 数 表 达 式 ；
（ 2） 求 该 商 品 的 日 销 售 金 额 W（ t） 的 最 大 值 与 最 小 值 ．
22 ． 如 图 ， 在 四 棱 锥 P﹣ ABCD 中 ， PC⊥ 平 面 ABCD ， AB ∥ CD ， CD⊥ AC， 过 CD 的 平 面 分 别
与 PA， PB 交 于 点 E ， F ．
（ 1） 求 证 ： CD ⊥ 平 面 PAC ；
（ 2 ） 求 证 ： AB ∥ EF ．
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