2024年深圳市高三年级第一次调研考试 数学参考答案

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2024年深圳市高三年级第一次调研考试 数学试题参考答案及评分标准 第1页 共8页
2024年深圳市高三年级第一次调研考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：每小题 5分，共 40 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D A B C C D
二、选择题：每小题 6分，共 18 分。
题号 9 10 11
答案 BC AC ACD
说明：第 9、10 题全部选对得 6分，选对 1个得 3分，有选错得 0分；第 11 题全部选对得 6分，每
选对 1个得 2分，有选错得 0分．
三、填空题：每小题 5分，共 15 分。
12． ； 13．
2 2 4
3
+
； 14．
18
．
四、解答题：
15．（13 分）
证明：（1）设等差数列
{}
n
S
n
的公差为
d
，则
41
3
41
SS d=+
，即
135Sd+=
，① ………………1分
因为
2 1 2 1 4S a a S= + = +
，所以由
21
21
SS
d=+
，得
．② …………………………2分
由①、②解得
12S=
，
1d=
，所以
1
n
Sn
n=+
，即
( 1)
n
S n n=+
，……………………………3分
当
2n…
时，
1( 1) ( 1) 2
n n n
a S S n n n n n
−
= − = + − − =
，
当 时，
11
2aS==
，上式也成立，所以
*
2 ( )
n
a n n=N
， ………………………………5分
因为当
2n…
时，
12
nn
aa
−
−=
，所以数列
{}
n
a
是等差数列． …………………………………6分
解：（2）由（1）可知
+1
2
2
2 4 2
nn
nn
ba nn
b a n n
+
= = =
++
，…………………………………………………7分
当
2n…
时，
121
1 2 1
1 2 1 12
=6
1 3 ( 1)
nn
n
nn
bb bnn
bb
b b b n n n n
−
−−
−−
=   =
++
… …
，
π
3
−
1n=
2024年深圳市高三年级第一次调研考试 数学试题参考答案及评分标准 第2页 共8页
因为
16b=
满足上式，所以
*
12 ()
( 1)
n
bn
nn
=
+N
． ……………………………………………9分
1 1 1 1 1 1 12
12[(1 ) ( ) ( )] 12 (1 ) 12
2 2 3 1 1 1
n
Tn n n n
= − + − + + − =  − = −
+ + +
，
……………………11 分
因为当
*
12
1n
+N
时， ， ，
3
，
5
，
11
，所以
{6,8,9,10,11}M=
． …………………13 分
16．（ 15 分）
证明：（1）不妨设
3AD AP==
， ∵
120PAD = 
，
2DM MP=
，
∴
33DP =
，
23DM =
，
3PM =
， ………………………………………………………1分
由余弦定理得
22
2 cos30 3AM AP MP AP MP= + −  =
，
在
ADM△
中，
2 2 2
AD AM DM+=
，∴
MA AD⊥
， …………………………………………2分
∵平面
ABCD ⊥
平面
PAD
，平面
ABCD
平面
，
MA
平面
PAD
，
∴
MA ⊥
平面
ABCD
．
∵
BD
平面
ABCD
，∴
MA BD⊥
，……………………………………………………………4分
∵四边形
ABCD
是菱形，∴
AC BD⊥
，…………………………………………………………5分
又∵
AC MA A=
，且
AC
平面
ACM
，
MA
平面
ACM
，∴
BD ⊥
平面
ACM
． ……6分
解：（2）在平面
ABCD
内，过点
B
作
AD
的垂线，垂足为
N
，
∵平面
ABCD ⊥
平面
PAD
，平面
ABCD
平面
，
∴
BN ⊥
平面
ADP
，…………………………………………7分
又∵四边形
ABCD
是菱形，
60ADC = 
，∴
30BDA = 
，
∴
ACD△
,
ABC△
均为等边三角形，………………………8分
以点
A
为坐标原点，
AD
，
AM
及过点
A
平行于
NB
的直线分别
为
x
，
y
，
z
轴，建立空间直角坐标系（如图），
则
(0 , 0, 0)A
，
3 3 3
( , 0 , )
22
B−
，
(3, 0 , 0)D
，
3 3 3
( , , 0)
22
P−
，……………………………9分
由（1）
BD ⊥
平面
ACM
，
∴
9 3 3
( , 0, )
22
BD =−
为平面
ACM
的一个法向量，
…………………………………………10 分
设平面
ABP
的法向量为
( , , )x y z=m
，
1n=
2
x P
B
C
M
D
z
y
A
N
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则
0,
0,
AB
AP
=
=
m
m
即
3 3 3 0,
22
3 3 3 0,
22
xz
xy
− + =
− + =
……………………………………………………………11 分
令
3x=
，可得
( 3 ,1,1)=m
， ………………………………………………………………12 分
∵
3 3 5
| cos , | | | 5
5 3 3
BD  = =
m
，
…………………………………………………………14 分
∴平面
ACM
与平面
ABP
的夹角的余弦值为
5
5
．……………………………………………15 分
17．（ 15 分）
解：（1）由题可知
3 3 2 2
11
( ) (1 ) 3 3 1 3( )
24
f
 
= + − = − + = − +
， …………………………2分
因为
01

，所以当
1
2
=
时，
()f
的最小值为
1
4
． ……………………………………4分
（2）由题设知，
X
的可能取值为
1
，
2
，
3
，
4
．………………………………………………5分
①当
1X=
时，相应四次接收到的信号数字依次为
0101
或
1010
．因此，
2 1 2 1 1 2 1 2 8
( 1) 3 3 3 3 3 3 3 3 81
PX= =   +   =
，……………………………………………………6分
②当
2X=
时，相应四次接收到的信号数字依次为
0010
，或
0100
，或
1101
，或
1011
，或
1001
，
或
0110
，或
1100
，或
0011
．因此，
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 1 2 36 4
( 2) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 4
3 3 3 3 3 3 3 3 81 9
PX= =  +  + = =
， ………………………8
分
③当
3X=
时，相应四次接收到的信号数字依次为
1110
，或
0111
，或
0001
，或
1000
．因此，
33
1 2 1 2 20
( 3) ( ) 2 ( ) 2
3 3 3 3 81
PX= =  + =
，……………………………………………………10分
④当
4X=
时，相应四次接收到的信号数字依次为
0000
，或
1111
．因此，
44
1 2 17
( 4) ( ) ( )
3 3 81
PX= = + =
．……………………………………………………………………12分
所以
X
的分布列为
…………………………………………………13分
X
1
2
3
4
P
8
81
4
9
20
81
17
81
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