黑龙江省佳木斯市三校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试 数学 Word版含答案

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2023-2024 学年度下学期三校联考高一期中测试卷
数学试题
命题教师： 审题教师： 考试时间：120 分钟
一、单项选择题：(本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)．
1．已知复数
z=( m−2)+( m+1)i（m∈R , i为虚数单位）
为纯虚数，则
m
的值是（ ）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
2．已知向量
)3,(ka
，向量
)4,1(b
，若 ，则实数
k
（ ）
A．B．C．D．
3．已知
)1,2(a
，
),1( mb
，
)4,2(c
，且
，则实数
m
（ ）
A．B．C．D．
4．记 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若，则
a=
（ ）．
A．B．C．D．
5．如图所示，梯形 是平面图形 用斜二测画法得到
的直观图， ， ，则平面图形 的面积
为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为 2，则该圆锥的体积等于（　　）
A.
√
3
3π
B.
√
3π
C.
2
3π
D.
2π
7. 在边长为 6的正方形 ABCD 中，点 E为DC 的中点，点 F在边 BC 上且 ，则
（ ）
A. 18 B. 24 C. 30 D. 42
8. 托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名
字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于
一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆
的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以
推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是
关于共圆性的基本性质.已知四边形 ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，
AC、BD 是其两条对角线， ，且 为正三角形，则四边形 ABCD 的面积为（ ）
A. 16 B. C. 12 D.
二、选择题：(本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分).
9．下面说法正确的是（ ）
A．多面体至少有四个面
B．棱柱所有的面都是平行四边形
C．棱台的侧面都是梯形
D．以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台
10. 设 ， 为复数，则下列结论中正确的是（ ）
A.若
izziziz 36,23,53
2121
则
B.若 ，则
C. 若 ，则 的最大值为
D.
11．对于 有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若 ，则 一定为等腰三角形
B.若 ，则 为钝角三角形
C．若 ，则 解的个数为 0
D．若 ，则 的面积为
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．正三棱柱所有棱长都为 1，则其表面积为 ．
13. 已知 为单位向量，当向量
ea,
的夹角
等于
0
45
时，则向量
a
在向量
e
上的投影向量为_______
_．
14. 已知正方体的棱长为 2，则它的外接球的表面积为 .体积为 ．
四、解答题：（本题共 5小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤）.
15．（13 分）已知复数 ， ， 为虚数单位．
（1）求
z1z2
（2）若 ，求 的共轭复数；
（3）若复数
21
zaz
在复平面上对应的点在第四象限，求实数
a
的取值范围．
16．（15 分）已知：
2a
，
3b
，向量 与 的夹角为 ．
(1)求
ba
；
(2)求 ；
(3)求 与
ba
的夹角的余弦值.
17．（15 分）记 ΔABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，其中 A为锐角，且有
bBa 3sin2
.
（1）求 A；
（2）设 为 边上的中线，若 ， ，请选择以下思路之一求出 的长.
思路①：利用 ……
思路②：利用 ……
思路③：利用 ……
思路④：其它方法……
18．（17 分）某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距 的观测站 和 ，
观测人员分别在 ， 处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点 处，观测人
员从两个观测站分别测得 ， ，经过一段时间后，该动物种群出现在点
处，观测人员从两个观测站分别测得 ， ．（注：点 ， ， ， 在同
一平面内）
（Ⅰ）求 的面积；
（Ⅱ）求点 ， 之间的距离．
19（17 分）在ΔABC 中，P为AB 的中点，O在边 AC 上，BO 交CP 于R，且
|
⃗
AO|=2|
⃗
OC|
，设
AB=
⃗
a
，
AC=
⃗
b
(1)试用 ， 表示 ；
(2)若 ，求∠ARB 的余弦值.
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