黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2023-2024学年高三上学期12月期末考试 数学 含解析

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齐齐哈尔普高联谊校高三期末考试
数 学
考生注意：
1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效
．．．．．．．．．．．．．
，在试题卷
．．．．
、草稿纸上作答无效
．．．．．．．．
．
4．本卷命题范围：复数，数列立体几何（含空间向量）占 50%；集合，逻辑，不等式，函数，
导数，三角函数，解三角形，平面向量占 50%．
一、选择题：本题共 8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合
 
22 3 0A x x x  
，集合
{ }
3,1,2B= -
，则
A B
（ ）
A.
 
3, 2
B.
 
3, 0,1
C.
 
0
D.
2. 复数
1
i
zi
在复平面上对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 在等比数列
中，
32a
，
44a
，则首项等于（ ）
A. 2 B. 1 C.
1
2
D.
1
3
4. 若平面向量
a
，
b
满足
| | 2a
，
4b
，且
4a b 
，则向量
a
与
b
夹角的大小是（ ）
A.
π
3
B.
π
4
C.
π
6
D.
2π
3
5. 设函数
 
2f x x x x 
，则
 
f x
（ ）
A. 是偶函数，且在
 
1,
上单调递增 B. 是奇函数，且在
 
1,1
上单调递减
C. 是偶函数，且在
 
, 1
 
上单调递增 D. 是奇函数，且在
 
, 1
 
上单调递减
6. 若函数
 
π
sin 0
6
f x x
 
 
 
 
 
在
π
0, 3
 
 
 
上单调，则
的
取值范围是（ ）
A.
 
1, 
B.
1,
C.
 
0,1
D.
0,1
7. 若
3x
为函数
 
2
13ln
2
f x x ax x  
的极值点，则函数
 
f x
的最小值为（ ）
A.
1
2
B.
3
2
C.
33ln 3
2
 
D.
3 3ln 3
8. 圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于 1907 年拜占庭
风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､
圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂
的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物 AB，高为
 
30 3 30 m,
在它们之间的地面上的点 M（B，
M，D三点共线）处测得楼顶 A教堂顶 C的仰角分别是 15°和60°，在楼顶 A处测得塔顶 C的仰角为 30°，
则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
6 2
.(sin15 )
4
 
A. 30
m
B. 60
m
C.
30 3m
D.
60 3m
二、选择题：本题共 4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 设向量
 
2, 4a
，
 
2,1b 
，则（ ）
A.
a b
B.
//a b
C.
5a b 
D.
5a b 
10. 设等差数列
的前 n项和为
n
S
，若
4 8 6
2a a a 
，则下列结论正确的是（ ）
A.
70a
B.
7
S
最大 C.
5 9
S S
D.
13 0S
11. 已知函数
 
2
3sin cos 3sinf x x x x 
，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数
 
f x
的最小正周期为
π
B. 函数
 
f x
的图象关于点
π 3
,
12 2
 
 
 
 
 
对称
C. 函数
 
f x
为偶函数
D. 若函数
 
f x
的图象向左平移
个单位长度后关于
y
轴对称，则
可以为
2π
3
12. 如图所示，在棱长为 2的正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，
P
是线段
1 1
C D
上的动点，则下列说法正确的是
（ ）
A. 平面
1
BB P
平面
ABCD
B.
BP
的最小值为
2 2
C. 若直线
1
B P
与
1
BD
所成角
的
余弦值为
15
5
，则
1
1
2
D P
D. 若
P
是
1 1
C D
的中点，则
1
AA
到平面
1
BB P
的距离为
4 5
5
三、填空题：本题共 4小题．
13
.
已知函数
 
sin cosf x x x 
，则
π
4
f 
 
 
______．
14. 若数列
是等比数列，且
1 7 13 8a a a
，则
3 11
a a
__________．
15. 已知
 
1, 3A
，
O
为坐标原点，点
B
（异于
O
点）在直线
2y x
上，则
OA OB
OB
 
________.
16. 已知函数
 
sin 1 ( 0)f x x
 
 
图象上相邻两对称轴的距离为
π
，则函数
 
y f x
的图象与函数
1
1
yx
（
2 6x 
，且
1)x
的图象所有交点的横坐标之和为________.
四、解答题：本题共 6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在递增的等比数列
中，
1 2 8a a 
，
1 2 6a a 
，其中
*
Nn
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
2 3
n n
b a 
，求数列
 
n
b
的
前n项和
n
T
.
18. 在
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，
cos 0
cos 2
c A c
a C b c
 
.
（1）求角
A
；
（2）若
2a
，求
BC
边上高的最大值.
19. 如图，在四棱锥
P ABCD
中，底面
ABCD
是矩形，侧棱
PA
底面
ABCD
，点
E
是
PD
的中点，
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