《高中数学微专题集》专题7 圆锥曲线之极点与极线 微点1 圆锥曲线之极点与极线（学生版）

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专题 7 圆锥曲线之极点与极线 微点 1 圆锥曲线
之极点与极线
专题 7 圆锥曲线之极点与极线
微点 1 圆锥曲线之极点与极线
【微点综述】
“极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种
基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可
以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向．
学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，
更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手
段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题．
一、极点极线发展简史
极点与极线€，是法国数学家吉拉德·笛沙格(Girard Desargues，1591-1661)于1639 年在射
影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述．吉拉德·笛沙格，1591 年2月21 日生
于法国里昂，1661 年10 月卒于里昂，法国数学家和工程师，别名 S．G．D．L．（是他署
名Sieur Girard Desargues Lyonnois 的缩写），射影几何的创始人之一，他奠定了射影几何
的基础．以他命名的事物有笛沙格定理、笛沙格图、笛沙格平面，1964 年，国际天文学联
合会以他的名字命名一个月球环形山．他建立了统一的二次曲线理论，是从笛沙格定理三
角形的角度，也是笛沙格定理的退化（参见南师大周兴和著《高等几何》第四章 P98，科
学出版社，2003）．
二、引例
先看一个引例：
引例．对于一已知点 和一已知圆 ： ，直线 的方程
（*）的几何意义有如下 3种情形：
（1）当点 在圆 上时，方程(*)表示为经过点 的圆的切线，切点为 ；
（2）当点 在圆 的外部时，方程(*)表示为过点 的两条切线的切点弦所在的直
线．点 在切点弦的中垂线上．
（3）当点 在圆 的内部，且 不为圆心时，方程(*)表示为过点 的对应点
（即以点 为中点的弦端点的两条切线的交点 ），且与以 为中点的弦平行的直线．
【解析】（1）证法一：当点 在圆 上时，如图 1，由圆的切线几何性质知，圆
的切线垂直于经过切点的半径， 切线的斜率 切线方程为
，整理得 ． 在圆 ： 上，
， ，即方程(*)表示为经过点 的圆的切线，切点为 ．
证法二： 在圆 ： 上， ， 圆心 到直线
的距离为 方程(*)表示为经过点 的圆的切线，切点为
．
（2）当点 在圆 的外部时，如图 2，设两切点分别为 ，由
（1）得两条切线方程分别为 ， 在切线上，
， 在直线 上，由两点确定
一条直线知直线 的方程为 ，故方程(*)表示为过点 的两条切线的切点弦
所在的直线．易知 点 在切点弦的中垂线上．
（3）当点 在圆 的内部且 不为圆心时，如图 2，易证△ ∽Δ
， ，又
，
． 的斜率 过 与 平行的直线方程为：
，整理得 ，故当点 在圆 的内部且 不
为圆心时，方程(*)表示为过点 的对应点 （即以点 为中点的弦端点的两条切线的交
点 ），且与以 为中点的弦平行的直线．
二、圆的极点与极线的定义
为了讨论问题的方便，对于引例的上述三种情况，统称点 与对应的直线 为关于圆 的
极点与极线．事实上，如图 3，点 、 为一双对应点，且满足条件： ．
注：满足条件（ 为圆心， 为圆的半径）的点的变换，称为反演变换．
因此，一般地，有
【定义 1】设 是平面上一个定圆（半径为 ），点 、 为满足条件的对
应点（或反点），则过点 且垂直于 的直线 称为点 关于 的极线，点 称为直
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