《高中数学微专题集》专题8 仿射变换在圆锥曲线中的应用 微点2 仿射变换在圆锥曲线中的应用（二） （解析版）

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专题 8 仿射变换在圆锥曲线中的应用 微点 2
仿射变换在圆锥曲线中的应用（二）
专题 8 利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题
微点 2 仿射变换在圆锥曲线中的应用（二）
【微点综述】
在上一微点我们研究了仿射变换的定义、性质及其在圆锥曲线中的初步应用——求轨
迹、作图、求直线的斜率、求弦长等，本节我们讨论仿射变换的进一步应用——处理
同一条线段的比例问题、面积问题、以及综合运用．
由仿射变换的性质，总结可得下表：
变换前 变换后
方 程
横坐标
纵坐标
斜 率
面 积
弦 长
不变量 平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比
仿射变换一般而言主要应用于选填中快速得出结果，对于解答题可以利用仿射变换快
速得出结果但是容易丢掉步骤分，因此还是用正常解法写出过程．
（五）利用仿射变换处理同一条线段的比例问题
例7．（2018 年高考浙江卷 17）已知点 ，椭圆 上两点 满
足 ，则当 时，点 横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【解析】解法一：如图，作仿射变换： 得 ，由于 三点共
线，则变换后 依然共线，且对应长度的比不变，则有 ，不妨设
在第一象限，设 且 ，则 ，由于 在圆
上，
则 ，当 时， 取最大值 ，即 点的横坐标的绝对
值最大，此时 ．
解法二：令 ．
，则 ， ，
， ， ，当 时，点
横坐标的绝对值最大．
解法三：显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为： ，
联立方程 可得 ，
记 ， ，则 ， ，由 可得
，所以 ， ，当 取最大值时， ，
此时 ．
【评注】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解
此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表
示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．
例8．已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，A，B是椭圆 C
上两点，O为坐标原点，直线 OA，OB 的斜率之积为 ．
（1）求椭圆 C的方程；
（2）若射线 OA 上的点 Р满足 ，且 PB 与椭圆交于点 Q，求 的值．
【解析】（1）设椭圆的焦距为 2c，易知一个 ∴椭圆方程为平
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