《高中数学微专题集》专题10：凹凸反转问（学生版）

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专题 10：凹凸反转问
专题 10：凹凸反转问题
专题阐述： 很多时候，我们需要证明函数 ，但不代表就要证明 ，因为
大多数情况下， 的零点是解不出来的.当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设
隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点不行可尝试用凹凸反转.
[规律方法]
，如果能够证明 ，则 显然成立，很明显，
是凹函数， 是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.凹
凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求的问题的，两种方法互为补充.
例题
1．设函数 ， ．
（1）判断函数 零点的个数，并说明理由；
（2）记 ，讨论 的单调性；
（3）若 在 恒成立，求实数 a的取值范围．
【答案】（1）1；（2） 时， 在 递减， 时， 在 递减，
在 递增；（3） ．
【解析】
（1）由题意得： ，∴ ，故 在 递增；又 ，
，
故函数 在 内存在零点，∴ 的零点个数是 1；
（2） ，
，
当 时， ， 在 递减，
当 时，由 ，解得： （舍取负值），
∴时， ， 递减， 时， ， 递增，
综上， 时， 在 递减， 时， 在 递减，在 递增；
（3）由题意得： ，问题等价于 在 恒成
立，
设 ，若记 ，则 ，
时， ， 在 递增， ，即 ，
若 ，由于 ，故 ，故 ，
即当 在 恒成立时，必有 ，当 时，设 ，
①若 ，即 时，由（2）得 ， 递减， ，
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