湖北省随州市部分高中联考协作体2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题答案

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高三数学试题参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1、解析　当 0<m<1 时,m<
1
m
,所以不等式的解集为
{
x
|
m<x<1
m
}
。故选 D。
2、解 析 　 因 为 sin 105°=sin(90°+15°)=cos 15°,sin 135°=sin(180°-45°)=sin 45°, 所 以 sin
15°cos 45°+sin 105°sin 135°=sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°=sin(15°+45°)=sin 60°=
❑
√
3
2
。故
选C。
3、解析　因为 cos α=
❑
√
5
5
,sin(β-α)=-
❑
√
10
10
<0,α,β均为锐角,所以 sin α=
❑
√
1− co s2α=2❑
√
5
5
,β-α∈
(
−π
2,0
)
,可 得 cos(β-α)=
,sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos
α+cos(β-α)sin α=-
❑
√
10
10 ×
❑
√
5
5+3❑
√
10
10 ×2❑
√
5
5=❑
√
2
2
,所以 β=
π
4
。故选 B。
4、解析　因为
⃗
OA =
(
❑
√
3
2,1
2
)
,所以
⃗
OA
与x轴的夹角为 30°,依题意,向量
⃗
OB
与x轴的夹角
为90°,则点 B在y轴正半轴上,且|
⃗
OB ∨¿∨
⃗
OA
|=1,所以点 B(0,1),则
⃗
OB
=(0,1)。故选 A。
5、解 析 　(图 略 )连 接 AB1,设AB1与A1B交于点 F,易 知 AF⊥A1B,AF⊥BC,且
A1B∩BC=B,A1B,BC⊂平面 A1BCD1,所以 AF⊥平面 A1BCD1。连接 EF,则∠AEF 是直线 AE
与平面 A1BCD1所成的角,tan∠AEF=
AF
EF =❑
√
2
2
。故选 A。
6、解析　把椭圆方程 16x2+4y2=1 化为标准方程可得
x2
1
16
+y2
1
4
=1,所以 a=
1
2
,b=
1
4
,c=
❑
√
3
4
,则
长轴长 2a=1,焦距 2c=
❑
√
3
2
,短轴长 2b=
1
2
,离心率 e=
c
a=❑
√
3
2
。故选 D。
7、解 析 　从小到大排列此数据为:10,12,14,14,15,15,16,17,17,17 。平均数为
1
10
×(10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7;数据 17 出现了三次,17 为众数;第5位、第 6位均
是15,故15 为中位数。所以 a=14.7,b=15,c=17,即a<b<c。故选 B。
8、解析　假设事件 A=“甲取胜”,设每场比赛甲胜的概率为 p,由题意得,事件 A发生的
次 数 X~B(3,p), 则 有 1-(1-p)3=
63
64
,得p=
3
4
,则 事 件 A恰 好 发 生 一 次 的 概 率 为
C3
1×3
4×
(
1−3
4
)
2
=9
64
。故选 C。
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，
有多项是符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分。
9、解析　由 f(x)=ex-ax 知f'(x)=ex-a。f(x)有极小值点 x=ln a,而极小值 f(ln a)=a-aln a<0,所
以a>e,A 正确。f(x)有两个零点 x1,x2,则
ex1
-ax1=0,
ex2
-ax2=0,即x1=ln a+ln x1①,x2=ln a+ln
x2②。①-②,得x1-x2=ln x1-ln x2,根据对数均值不等式,
x1+x2
2>x1− x2
ln x1−ln x2
=1>❑
√
x1x2
,得
x1+x2>2,而1>
❑
√
x1x2
,因此 x1x2<1,B 正确,C 错误。由①+②,得x1+x2=2ln a+ln x1x2<2ln a,即
x1+x2<2x0,D 正确。故选 ABD。
10、解析　因为 a·b=1,|b|=1,且|a+b|=
❑
√
7
,所以 a2+2a·b+b2=7,则|a|2+2+1=7,则|a|=2,故A正
确;因为 a·(a-b)=a2-a·b=3≠0,所以 a与a-b不垂直,故B错误;cos<a,b>=
a·b
¿a∨¿b∨¿=1
2¿
,又
<a,b>∈[0,π],所以 a与b的夹角为
π
3
,故C正确,D 错误。故选 AC。
11、解析　对于 A,根据经验回归方程,当解释变量 x每增加 1个单位时,响应变量 y平均
减少 0.85 个单位,故A错误;对于 B,当解释变量 x=1 时,响应变量
^
y
=1.45,则样本点(1,1.2)
的残差为-0.25,故B正确;对于 C,在残差图中,残差分布的水平带状区域的宽度越窄,说明
拟合精度越高,即拟合效果越好,故C正确;对于 D,由决定系数 R2的意义可知,R2越大,表示
残差平方和越小,即模型的拟合效果越好,故D正确。故选 BCD。
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
12、解析　因为 y=
1− x
1+x
=-1+
2
1+x
,故其单调递减区间为(-∞,-1),(-1,+∞)。
13 、解析　因为 an+1=3an-2n+1,所以 an+1-(n+1)=3(an-n),所以
an+1−(n+1)
an− n
=3,又因为 a1-
1=2-1=1≠0,所以{an-n}是首项为 1,公比为 3的等比数列,所以 an-n=3n-1,所以 an=3n-1+n。
14、解析　 因为 P是直线 l:2x+y+9=0 上的任一点,所以设 P(m,-2m-9),由于圆 x2+y2=9 的
两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B,所以 OA⊥PA,OB⊥PB,则点 A,B在以线段 OP 为直径的
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