《高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破》专题二 对棱相等模型(原卷版)

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专题二　对棱相等模型
【方法总结】
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于
长方体的体对角线长，即 (长方体的长、宽、高分别为 a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱
锥的三组对棱长分别为 x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．
A B
C
D
A1B1
C1
D1
【例题选讲】
[例]　(1)正四面体的各条棱长都为 ，则该正面体外接球的体积为________．
答案　 　解析　这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，
2R=
√
3
，
R=
√
3
2
，
V=4
3π⋅3
√
3
8=
√
3
2π
．
(2)在三棱锥 A－BCD 中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，则三棱锥
A−BCD
外接球的表面
积为________．
答案　 　解析　构造长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为
a , b , c
，则
a2+b2=9
，
，
c2+a2=16
∴
2(a2+b2+c2)=9+4+16=29
，
2(a2+b2+c2)=9+4+16=29
，
a2+b2+c2=29
2
，
4R2=29
2
，
S=29
2π
．
(3)在三棱锥 A－BCD 中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____．
答案　 　解析　依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长
方体 ，设该长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，且其外接球的半径为 R，则得 a2＋b2＋c2＝43，即(2R)2
＝a2＋b2＋c2＝43，易知 ，即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为
．
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