《【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）》第09讲 向量应用（解析版）

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第09 讲 向量应用
【学习目标】
1、学会运用向量方法解决平面几何和物理中的问题．
2、把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题．
【考点目录】
考点一：用向量证明线段垂直
考点二：用向量解决夹角问题
考点三：用向量解决线段的长度问题
考点四：向量在几何中的应用
考点五：向量在物理中的应用
【基础知识】
知识点一：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的
意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条
件： （或 ）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运
用向量垂直的条件： （或 ）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 ．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系 ，
把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
知识点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相
关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而
把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．
知识点二：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量
与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
（1）平行问题：常用向量平行的性质．
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标
的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题：利用公式 ．
知识点三：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即
将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成
与分解就是向量的加减法；③动量 mv 是数乘向量；④功即是力 F与所产生位移 s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问
题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
【考点剖析】
考点一：用向量证明线段垂直
例1．（2022·全国·高一期末）如图，在平行四边形 中，点 是 的中点， 是 的三等
分点（ ， ）.设 ， .
(1)用 表示 ；
(2)如果 ，用向量的方法证明： .
【解析】（1）因为点 是 的中点，所以 .
因为 ， ,所以 .
所以 ， .
（2）由（1）可得： ， .
因为 ，
所以 ，
所以 .
例2．（2022·湖南·高一课时练习）如图所示，在等腰直角三角形 ACB 中， ， ，D为
BC 的中点，E是AB 上的一点，且 ，求证： .
【解析】
因为 ，所以 ，即 ，故 .
考点二：用向量解决夹角问题
例3．（2022·全国·高一课时练习）在长方形 中， ， ， 为线段 的中点， 为线
段 上一点（不含端点），利用向量知识判断当点 在什么位置时， ．
【解析】设 ， ，取 为基底，
且 ， ， ， 为向量 与 的夹角．
∵为线段 上一点，
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