《【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）》第08讲 向量基本定理及坐标表示（解析版）

3.0 envi 2025-01-01 30 4 2.94MB 32 页 3知币
侵权投诉
第08 讲 向量基本定理及坐标表示
【学习目标】
1、掌握平面向量基本定理．
2、学会用平面向量的坐标表示，体会其几何意义．
【考点目录】
考点一：平面向量基本定理
考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
考点三：平面向量的坐标运算
考点四：平面向量平行的坐标表示
考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算
考点六：平面向量数量积的综合应用
【基础知识】
知识点一：平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
如果 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量 ，有且只有一对实数
，使 ，称 为 的线性组合．
① 其中 叫做表示这一平面内所有向量的基底；
② 平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一
的．
这说明如果 且 ，那么 ．
③ 当基底 是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实
际上是平面向量坐标表示的基础．
知识点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对
应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量．
2、如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在
解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向
量 、 ，平面上的任何一个向量 都可以用 、 唯一表示为 = + ，这样几何问题就转
化为代数问题，转化为只含有 、 的代数运算．
知识点二：平面向量的坐标表示
1、正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
知识点诠释：
如果基底的两个基向量 e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正
交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底，对于平
面上的一个向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 ，使得 =．这样，平面内
的任一向量 都可由 唯一确定，我们把有序数对 叫做向量 的（直角）坐标，记作 =，x
叫做 在 x轴上的坐标，y叫做 在 y轴上的坐标．把 =叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的
直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与
实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
知识点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即 且 ，
其中 ．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不
同．比如，若 ， ，则 ；若 ， ，则 ， ，
显然 A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3） 在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
知识点三：平面向量的坐标运算
1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
运 算 坐标语言
加法与减法 记 ，
，
实数与向量的乘积 记 ，则 =（ ， ）
2、如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算
法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起
点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同
时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起
点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有
关．
知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示
1、平面向量平行（共线）的坐标表示
设非零向量 ，则 ∥
⇔
， 即 ， 或
．
知识点诠释：
若 ，则 ∥ 不能表示成
x1
x2
=y1
y2
,
因为分母有可能为 0．
2、三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
， ，
若 则 A，B，C三点共线．
知识点五：向量数量积的坐标表示
1、已知两个非零向量
1 1
( , )a x y
， ，
2、设 ，则 或
3、如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为
(x1, y1)
、
(x2, y2)
，那么
《【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）》第08讲 向量基本定理及坐标表示（解析版）.docx

共32页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：32 页 大小：2.94MB 格式：DOCX 时间：2025-01-01

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 32
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注