《【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）》第07讲 向量运算（解析版）

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第07 讲 向量运算
【学习目标】
1、掌握平面向量的运算和探索其运算性质．
2、体会平面向量运算的作用．
【考点目录】
考点一：向量的加法运算
考点二：向量的减法运算
考点三：与向量的模有关的问题
考点四：向量的数乘运算
考点五：共线向量与三点共线问题
考点六：平面向量数量积的运算
考点七：平面向量模的问题
考点八：向量垂直（或夹角）问题
【基础知识】
知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1、向量加法的概念及三角形法则
已知向量 ，在平面内任取一点 A，作 ，再作向量 ，则向量 叫做 与 的
和，记作 ，即 ．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2、向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量 ，作 ，则 三点不共线，以 为邻边作平行
四边形 ，则对角线 ．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量 ，我们规定 ．
知识点诠释：
两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点．
知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律
1、向量求和的多边形法则的概念
已知 个向量，依次把这 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第 个向量的终点为终点
的向量叫做这 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
特别地，当 与 重合，即一个图形为封闭图形时，有
2、向量加法的运算律
（1）交换律： ；
（2）结合律：
知识点三：向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
（1）当 不共线时， ；
（2）当 同向且共线时， 同向，则 ；
（3） 当 反向且共线时， 若 ，则 同向， ；若 ，则
同向， ．
知识点四：向量的减法
1、向量的减法
（1）如果 ，则向量 叫做 与 的差，记作 ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
此定义是向量加法的逆运算给出的．
相反向量：与向量 方向相反且等长的向量叫做 的相反向量．
（2）向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差，即 ．求两个向量差的运算，叫做
向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
知识点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
（2）对于相反向量有 ；若 ， 互为相反向量，则 ．
（3）两个向量的差仍是一个向量．
2、向量减法的作图方法
（1）已知向量 ， ，作 ，则 =，即向量 等于终点向量（
）减去起点向量（ ）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以
减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出 ．作 ，
则 ，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
知识点五：数乘向量
1、向量数乘的定义
实数与向量的积：实数 与向量
⃗a
的积是一个向量，记作：
（1） ；
（2）①当
λ>0
时，
λ⃗a
的方向与
⃗a
的方向相同；
② 当
λ<0
时．
的方向与
⃗a
的方向相反；
③ 当
λ=0
时，
λ⃗a=⃗
0
．
2、向量数乘的几何意义
由实数与向量积的定义知，实数与向量的积
λ⃗a
的几何意义是：
λ⃗a
可以由 同向或反向伸缩得到．当
时，表示向量 的有向线段在原方向（ ）或反方向（ ）上伸长为原来的 倍得到
λ⃗a
当 时，表示向量 的有向线段在原方向（ ）或反方向（ ）上缩短为原来的 倍得
到
λ⃗a
；当 时，
λ⃗a
=；当 时，
λ⃗a
=- ，与 互为相反向量；当 时，
λ⃗a
=．实数与
向量的积得几何意义也是求作向量
λ⃗a
的作法．
3、向量数乘的运算律
设 为实数
结合律： ；
分配律： ，
知识点六：向量共线的条件
1、向量共线的条件
（1）当向量 时， 与任一向量 共线．
（2）当向量 时，对于向量 ．如果有一个实数 ，使 ，那么由实数与向量的积的定义
知 与 共线．
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