黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试 数学 Word版含答案

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2023 级高一学年下学期期中考试
数 学 试 题
考试时间：120 分钟 分值: 150 分
命题人：张宁 审题人：岳冬平
第 I 卷 (选择题, 共 58 分)
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1. 已知
¿
⃗
a∨¿❑
√
2,∨
⃗
b∨¿1,
且
⃗
a −
⃗
b
与
⃗
a+2
⃗
b
互相垂直，则 a 与 b 的夹角为( )
A. 30° B. 45° C. 60°
D.90°
2.如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB 的直观图(图中虚线分别与 x'轴，
y'
轴平行)，则原图形
△AOB 的面积是( )
A. 8
B. 16
C. 32
D. 64
3. 已知集合
A=
{
z∨z=in+1
in, n ∈N∗
)
,
则 A 的元素个数为()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知正方体
ABCD− A ₁B₁C₁D₁
的棱 AB,AD,D C ,CC₁ ₁ ₁ 的中点分别为 E,F,G,H , 则下列直线中，与
平面 ACD₁和平面 BDA₁的交线平行的直线 ( )
A. GH B. EH C. EG D. FH
5. 向量
在向量
⃗
b=
(
2,− 1
)
上的投影向量的坐标为()
A. (2,-1)
B .
(
1,− 1
2
)
C. (4,-2) D. (3,1)
6. 在直角三角形 ABC 中，已知
AC=❑
√
3, BC=3,∠C=90 ❑∘,
以 AC 为旋转轴将
△ABC
旋转
一周，AB、BC 边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面
三角形的面积的最大值为( )
A.3❑
√
3
B. 4
C.6 ❑
√
3
D. 6
7. 已知非零向量
⃗
AB
与
⃗
AC
满足
¿
且
¿
⃗
AB−
⃗
AC∨¿2❑
√
2,∨
⃗
AB+
⃗
AC∨¿4❑
√
2,
点 D 是△ABC 的边 AB 上
的动点,则
⃗
DB⋅
⃗
DC
的最小值为( )
A. -6
B .− 3
2
C . − 2
5
D. -1
8.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，
PA=PB=PC , △ABC
是边长为 2 的正三角形，E,
F 分别是 PA, AB 的中点, ∠CEF=90°, 则球 O 的体积为( )
A.8❑
√
6π
B.4 ❑
√
6π
C.2❑
√
6π
D .❑
√
6π
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项是
符合题目要求的.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分)
9. 若
z₁, z ₂, z ₃
为复数，
z₁≠0,
下列命题正确的是( )
A. 若
¿z₂∨¿∨z₃∨,
则
z₁=± z ₁,
B. 若
z₁z₂=z₁z₁,
则
z₂=z₃
C. 若
z₂=z₁,
则
¿z₁z₂∨¿∨z₁z₃∨¿
D. 若
z₁z₂=0,
则
z₃=0
或
z₂=0
10. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其外接圆半径为 R，下列结论正确的
有( )
A. 若 G 是
△ABC
的重心，则
⃗
GA+
⃗
GB+
⃗
GC =
⃗
0
B. Q 是△ABC 所在平面内一点, 若
⃗
AQ=1
5
⃗
AB+2
5
⃗
AC ,
则△ABQ 的面积是△ACQ 的
面积的 2 倍
C. 若 则△ABC 是等腰三角形
D. 若
a²=27 − b ²,3 cos
(
A − B
)
cosC=1,
则△ABC 的外接圆半径
R=9
4
11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边
形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的
中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种
半正多面体.已知 AB=2，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有( )
A.该半正多面体的体积为
40 ❑
√
2
3
B.该半正多面体的顶点数 V、面数 F、棱数 E 满足关系式
V+F--E=2
C.该半正多面体过 A，B，C 三点的截面面积为
3❑
√
3
D.该半正多面体外接球的表面积为 16π
第Ⅱ卷(非选择题，共 92 分)
注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12.已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为
2π
3
的扇形，若圆锥的体积为
2❑
√
2π
3,
则该圆锥
的表面积为 .
13.在直四棱柱
ABCD− A ₁B₁C₁D₁
中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱
AA ₁=3,
E 是
BC 的中点，F 是棱 CC₁上的点，且
CF=1
3C C1,
过 4₁作平面 α, 使得平面 α∥平面 AEF, 则平
面α截直四棱柱ABCD-A B C D , ₁₁₁₁ 所得截面图形的面积为
14.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂
直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具 .敦煌壁画就有伏羲
女娲手执规矩的记载(如图(1))今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图(2).若将这块圆形木
板截成
sin B
cos2A
2
=2bsinC
b+c,
一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角 α满足(
cos α=3
5,
则这块四边形
木板周长的最大值为 (单位：厘米)
四、解答题(共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13 分)
已知点 O(0,0),A(2,1),B(4,3)及
⃗
OP=
⃗
OA+t
⃗
OB.
(1)若点 p在第一象限，求 t的取值范围；
(2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
16. (本小题满分 15 分)
如图是一个棱长为 2 的正方体的展开图，其中 M，N 分别是棱 DB，KF 的中点.请以
G，E，K 三点所在面为底面将展开图还原为正方体.
(1) 求证: 点 M在平面 AEN内;
(2)用平面 AEN截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为
V₁, V ₂(V₁<V₂),
试判断体积较小的几何体的形状(不需要证明)，并求
V₁:V₂
的
值.
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