黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试 数学 Word版含答案
2022 级高二学年下学期期中考试
数 学 试 题
考试时间: 120 分钟 分值: 150 分
命题人：韩思远 审题人：王永立
一、单选题(每题 5分，共 40 分)
1、从 5名男生和 3名女生中选派 3人参加志愿者工作，要求男、女生都要有，则不同的选派方法种数
为( )
A. 90 B. 56 C. 45 D. 15
2、
(
x − 1
x
)
6
的展开式中，含
x2
项的系数为( )
A. 6 B. -6 C. 15 D. -15
3、已知一组成对数据
(
xi, yi
)
(
i=1,2 …6
)
中
y
关于
x
的一元非线性回归方程
y=b x2+1
,已知
∑
i=1
6
xi=4,∑
i=1
6
xi
2=12 ,∑
i=1
6
yi=18
,则
b=¿
( )
A. 3 B. 1 C. -1
D. -3
4、已知
P
(
A
)
=0.6 , P
(
AB
)
=0.3 , P
(
B
|
A
)
=0.5
,下列选项正确的是( )
A.
P
(
B
)
=0.4
B.
P
(
A
|
B
)
=0.6
C.
P
(
A
|
B
)
=0.5
D.
P
(
AB
)
≠ P
(
A
)
P
(
B
)
5、离散型随机变量 X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以
x，y
(
x , y ∈N
)
代替，分布列如下：则
P
(
2
3<X<11
3
)
=¿
( )
A. 0.35 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.65
6、高二 4班和 5班两个班的人数相等，在某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其
正态密度函数
f
(
x
)
=1
❑
√
2π σ
(
x− μ
)
2
2σ2
的图像如图所示，其中
μ
是正
态分布的期望，
σ
是正态分布的标准差，且
P
(
|
X − μ
|
≤ σ
)
=0.6827 , P
(
|
X − μ
|
≤2σ
)
=0.9545 , P
(
|
X − μ
|
≤3σ
)
=0.9973 ,
关于这次数学考试成绩，
下列结论正确的是( )
A.4 班的平均分比 5班的平均分高
B.相对于 5班，4班学生的数学成绩更分散
C. 4 班108 分以上的人数约占该班总人数的 4.55%
D. 5 班112 分以上的人数与 4班108 分以上的人数大致相等
7、学校对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相
同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的
5
6
,女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的
2
3
,若依据
α=0.05
的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可
能是( )
附:
χ2=n
(
ad − bc
)
2
(
a+b
) (
a+c
) (
c+d
) (
b+d
)
α
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
Xa
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 48 B. 54 C. 60 D. 66
8、某人在
n
次射击中击中目标的次数为
X，X B
(
n，p
)
，
其中
n∈N∗,0<p<1
,击中奇数次为事件
A
, 则( )
A.若
n=10 , p=0.8 ,
则
P
(
X=k
)
取最大值时
k=9
B.当
p=1
2
时,D(X)取得最小值
C.当
0<p<1
2
时，
P
(
A
)
随着
n
的增大而减小 D.当
1
2<p<1
时，
P
(
A
)
随着
n
的增大而减小
二、多选题(每题 6分，共 18 分)
9、在一个袋中装有质地、大小均一样的 6个黑球，4个白球，现从中任取 4个小球，设取出的 4个小
球中白球的个数为
X
，则下列结论正确的是( )
A.
P
(
X=2
)
=3
7
B.随机变量
X
服从二项分布
C.随机变量
X
服从超几何分布 D.
E
(
X
)
=8
5
10、已知
f
(
x
)
=
(
2x − 3
)
n
(
n∈N∗
)
展开式的二项式系数和为 512，
f
(
x
)
=a0+a1
(
x− 1
)
+a2
(
x −1
)
2+…+an
(
x −1
)
n
下列选项正确的是( )
A.
a1+a2+…+an=1
B.
a1+2a2+3a3+…+n an=1
C.
a2=144
D.
¿a0
|
+
|
a1
|
+…+¿an
|
=39
11、现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将对一组动物(共10 只)进行试验.第一轮注射，对该组
的每只动物都注射一次，若检验出该组中有 9只或 10 只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否
则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验.如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有
效，否则需要改进疫苗.设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概
率均为
p
(
0<p<1
)
.若试验只需一轮注射的概率为
p1
，需要注射第二轮的概率为
P2
，且该组中某一只动
物在这次试验中只被注射一次的概率为
p ' ¿
均用含
P
的多项式表示)，再设该组动物需要注射次数
X
的
数学期望为
E
(
X
)
，则( )
A.
p1=10 p9−9p10
B.
p2=45 p8
(
1− p
)
2
C.
p'=p+p9− p10
D.
E
(
X
)
<20 −10 p
三、填空题(每题 5分，共 15 分)
12、某企业召集 6个部门的员工座谈，其中 A 部门有 2人到会，其它 5个部门各有 1人到会，座谈会
上安排来自不同部门的 3人按顺序发言，则不同的安排方法种数为__________.
X=i 1 2 3 4 5 6
P(X=i) 0.21 0.20 0.
∎
50.10 0.1
∎
0.10
13、已知有 A，B两个盒子，其中 A盒装有 3个黑球和 3个白球，B盒装有 3个黑球和 2个白球，这些
球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若 2个球同色，则甲胜，并将取出的 2
个球全部放入A盒中，若 2个球异色，则乙胜，并将取出的 2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操
作两次后，B盒中恰有7个球的概率是__________.
14、产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在
N
件产品中有
M
件不合格品，在产品中随机抽
n
件做检查，发现
k
件不合格品的概率为
P
(
X=k
)
=CM
KCN − M
n − K
CN
n, k =t , t+1, …, s
,其中
s
是
M
与
n
中的较小
者，
t
在
n
不大于合格品数
(
即n ≤ N − M
)
时取 0，否则
t
取
n
与合格品数之差，即
t=n −
(
N − M
)
.
根据
以上定义及分布列性质，请计算当.
N=16 , M=8
时,
C8
0C8
4+C8
1C8
3+C8
2C8
2+C8
3C8
1+C8
4C8
0=¿¿
;若
N=2n , M=n ,
请计算
Cn
0Cn
1+Cn
1Cn
2+Cn
2Cn
3+…+C8
n − 2C8
n −1+C8
n − 1C8
n=¿¿
(两空均用组合数表示)
四、解答题 (共77 分)
15、(13 分)某批规格相同的产品由甲、乙、丙三个工厂共同生产，甲厂生产的产品次品率为 2%，乙厂
和丙厂生产的产品次品率均为 4%，三个工厂生产的产品混放在一起，已知甲、乙、丙三个工厂生产的
产品数分别占总数的 40%, 40%, 20%.
(1)任选一件产品，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的产品是次品，分别计算此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率.
16、(15 分) 已知曲线
f
(
x
)
=
(
1− a
)
x − x2
2+aln x
在点
(2，f(2))
处的切线与直线
y=−1
2x+1
垂直.
(1)求
a
的值. (2)判断
f(x)
的单调性,并求极值.
17、(15 分)为调查某地区植被覆盖面积
x
(单位：公顷)和野生动物数量
y
的关系，某研究小组将该地区
等面积划分为 200 个区块，从中随机抽取20 个区块，得到样本数据
(
xi, yi
)
(
i=1,2 …20
)
,
部分数据如
下：
x
… 2.7 3.6 3.2 …
y
… 57.8 64.7 62.6 …
经计算得：
∑
i=1
20
xi=60 ,∑
i=1
20
yi=1200 ,∑
i=1
20
(
xi− x
)
2=80 ,∑
i=1
20
(
xi− x
) (
yi− y
)
=640 ,
(1)利用最小二乘估计建立
y
关于
x
的线性回归方程；
(2)该小组又利用这组数据建立了
x
关于
y
的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系
xOy
下，
横坐标
x
，纵坐标
y
的意义与植被覆盖面积
x
和野生动物数量
y
一致，
(i)比较前者与后者的斜率大小，并证明；(ii)求这两条直线的公共点坐标.
附：
y
关于
x
的回归方程
^
y=
^
a+
^
b x
中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
^
b=
∑
i=1
n
(
xi− x
) (
yi− y
)
∑
i=1
n
(
xi− x
)
2
,
^
a=y −
^
b x .
18、(17 分)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包. 该面包
店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是 1000g，上下浮动不超过50g.这句话用数学语言来表
达就是：每个面包的质量服从期望为 1000g，标准差为 50g 的正态分布.
(1)已知如下结论：若
X∼N(μ , σ ²),
从
X
的取值中随机抽取
k(k∈N∗, n≥ 2)
个数据，记这
k
个数据的
平均值为
Y
，则随机变量
X∼N(μ , σ²
k)
利用该结论解决下面问题.
(i)假设面包师的说法是真实的，随机购买 25 个面包，记随机购买 25 个面包的平均值为
Y
，求
P(Y ≤ 980);
(ii)庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25 天后，得到的数据都落在(950，1050)上，并经计算
25 个面包质量的平均值为 978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面
包师的理由；
(2)假设有两箱面包(面包除颜色外，其他都一样)，已知第一箱中共装有 6个面包，其中黑色面包有2
个；第二箱中共装有 8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出 2个面
包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.
(附：①随机变量
η
服从正态分布
N(μ , σ ²)
,则
P(μ − σ ≤ η ≤ μ +σ)=0.6827 , P(μ −2σ ≤ η ≤ μ+2σ)=0.9545 , P(μ − 3σ ≤ η ≤ μ +3σ)=0.9973
;②
通常把发生概率小于 0.05 的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.)
19、(17 分)已知
a∈R ,
函数
f(x)= a
x+ln x , g(x)=ax − ln x− 2.
(1)当
f(x)
与
g(x)
都存在极小值，且极
小值之和为
0
时，求实数
a
的值；
(2) 若
f(x₁)=f(x₂)=2(x₁≠ x ₂),
求证：
1
x1
+1
x2
>2
a
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