黑龙江省佳木斯市三校联考2023-2024学年高二上学期1月期末考试 数学 含解析

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2023-2024 学年度（上）三校联考高二期末考试数学试题
命题教师： 审题教师： 考试时间：120 分钟
注意事项：
1．答题前请粘贴好条形码，填写好自己的姓名、班级、考号等信息．
2．本试卷分第 I卷 (选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150 分。
第 I 卷（选择题）
一、单选题（每小题 5 分）．
1．平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量 ，则平面 与平面 （）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定
2．直线 的倾斜角是 （ ）
A．B．C．D．
3．椭圆 的离心率为 （）
A．B．C．D．
4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学
问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使
总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方
程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 （
）
A．B．C．D．
5．设 为空间的一个标准正交基底， ， ，则 等于 （）
A．7 B．C．23 D．11
6．若直线 被圆 所截得的弦长为 ，则 的最小值为（）
A．B．C．D．
7．在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 （ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线 C与椭圆 有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于 1，则双曲线 C的方程为
（）
A．B．C．D．
二、多选题（每小题 5 分）．
9．关于椭圆 有以下结论，其中正确的有 （）
A．离心率为 B．长轴长是
C．焦点在 轴上 D．焦点坐标为(-1，0)，(1，0)
10．在正方体 中，若 为 的中点，则与直线 不垂直的有 （）
A．B．C．D．
11．已知点 ， ，直线 ： （其中 ），若直线 与线段 有公共点，
则直线 的斜率 的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
12．如图，正方体 的棱长为 2，动点 P，Q分别在线段 ， 上，则下列命题正确的是（）
A．直线 BC 与平面 所成的角等于 B．点 到平面 的距离为
C．异面直线 和 所成的角为 . D．线段 长度的最小值为
第 Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每小题 5 分）.
13．已知 ， ，且 ，则 ，.
14．若圆 ，与圆 ： 相交于 ， ，则公共弦 的长为.
15．已知点 ，平面 过原点，且垂直于向量 ，则点 到平面 的的距离为．
16．已知双曲线 的右顶点为 ， 若以点 为圆心， 以 为半径的圆与双曲线 的一
条渐近线交于 两点， 点 为坐标原点， 且 ， 则双曲线 的离心率为．
四、解答题（17 题 10 分，18、19、20、21、22 题各 12 分.）
17．已知空间三点 ， ， ，设 ， ．
(1)求 ；
(2) 与 互相垂直，求实数 k的值．
18．直线 经过两直线 和 的交点．
(1)若直线 与直线 平行，求直线 的方程；
(2)若点 到直线 的距离为 ，求直线 的方程．
19．如图，在边长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E是BC 的中点，F是DD1的中点，
（1）求证：CF∥平面 A1DE；
（2）求平面 A1DE 与平面 A1DA 夹角的余弦值．
20．在平面直角坐标系中，圆 的圆心在直线 上，且圆 经过点 和点 .
（1）求圆 的标准方程；
（2）求经过点 且与圆 恰有 1个公共点的直线的方程.
21．已知抛物线 上的点 M（5，m）到焦点 F的距离为 6.
(1)求抛物线 C的方程；
(2)过点 作直线 l交抛物线 C于A，B两点，且点 P是线段 AB 的中点，求直线 l方程.
22．如下图，已知点 是离心率为 的椭圆 ： 上的一点，斜率为 的直线 交椭
圆 于 、 两点，且 、 、 三点互不重合．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求证：直线 ， 的斜率之和为定值．
2023-2024 学年度（上）三校联考高二期末考试数学试题答案
1．A【解析】由两个平面法向量的位置关系判断两平面的位置关系
【详解】解：因为平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量 ，
所以 ，所以
所以 ．
故选：A
2．D
【解析】直线方程化为点斜式，求出直线斜率，即可求出倾斜角.
【详解】 化为 ，
斜率为 ，所以倾斜角为 .
故选:D.
3．C
【解析】根据椭圆方程求 ， ， ，再求离心率.
【详解】由椭圆方程可知 ， ，所以 ，
椭圆的离心率 .
故选：C
4．A
【解析】求出 关于 的对称点 ，根据题意，则 为最短距离，即可得答案；
【详解】设点 关于直线 的对称点 ，设军营所在区域为的圆心为 ，
根据题意， 为最短距离，先求出 的坐标，
的中点为 ，直线 的斜率为 1，
故直线 为 ，
由 ，解得 ， ，
所以 ，
故 ，
故选：A.
5．B
【解析】由向量数量积运算性质直接求解即可
【详解】解：因为 为空间的一个标准正交基底，
所以 ，
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