黑龙江省哈尔滨市重点三校2023-2024学年高三上学期期末联考试题 数学 PDF版含答案

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试卷第 1页，共 8页
2023-2024 学年高三上学期期末考试
数学学科试题
一、单选题：本题共 8个小题，每个小题 5分，共 40 分.在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的.
1．已知
i
为虚数单位，若复数
( )
1
1
zi
i
i
，则（ ）
A．复数
z
实部为 1 B．复数
z
虚部为 0
C．
2z
D．在复平面内
z
对应的点位于第二象限
2．已知集合
 
1, 0,1, 2A 
，集合
 
22 ,B y y x x x A   ∣
，则集合
B
（ ）
A．
 
1, 0
B．
 
1, 2
C．
D．
 
1,0,3
3．已知
, ,m n l
是不同的直线，
,
 
是不同的平面，若直线
m
，直线
, ,n l m l
 
 
，
则
m n
是
 
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要
4．设函数
( ) sin( )( 0)
4
f x x
 
 
，已知方程
| ( ) | 1f x
在
 
0, 2π
上有且仅有 2个根，则
的取值范围是（ ）
A．
3
(0, ]
4
B．
[5 3
, )
8 4
C．
7
[ ,
8
11)
8
D．
7
[ ,
8
11]
8
5. 下列函数的图象不可能与直线
2 ,y x m m  R
相切的是（ ）
A．
 
2
f x x x 
B．
 
3ex
f x x 
C．
 
2
ln 2
x
f x x 
D．
 
2f x x x 
6. 已知函数
 
 
2 1
x x
f x a
 
（
0a
且
1a
）是奇函数，则
a
（ ）
A．
1
2
B．
2
C．2 D．4
7. 过正四棱锥
P ABCD
的高
PH
的中点作平行于底面
ABCD
的截面
11 1 1
A B C D
，若四棱锥
P ABCD
与四棱台
1 1 1 1
ABCD A B C D-
的表面积之比为
12
11
，则直线
PA
与底面
ABCD
所成角
的余弦值为（ ）
A.
10
5
B.
15
5
C.
6
3
D.
3
3
8．点 A为直线 l：
2y x
上在第一象限的点，
(5,0)B
，以 AB 为直径的圆 C与l交于另
一点 D，若
0AB CD 
 
，则 A点的横坐标为（ ）
A.
1
B.
3
C.
3 1或
D.
2
二、多选题:本题共 4个小题，每个小题 5分，共 20 分.在每个小题给出的选项中，有多个
符合题目要求，全部选对得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9．已知椭圆
C
：
2 2
21(0 2)
4
x y b
b
 
的左右焦点分别为
21,F F
，点
( 2,1)P
在椭圆内部，点
Q
在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
(2
0, )
2
B．
1 2
QF QF
的最小值为 4
{#{QQABIYIUogigAAAAARhCUQE6CEEQkBGCAIoGAAAEoAABwRNABAA=}#}
试卷第 2页，共 8页
C．不存在点
Q
，使得
2
10QF QF 
 
D．当
3
3
e
时，以点
P
为中点的椭圆的弦的斜率为 1
10. 下列判断正确的是（ ）
A. 函数
( )f x
是定义在 R上的奇函数，若
0x
时，
( ) ln( )f x x 
,则
0x
时，
( ) lnf x x 
B. 若
1
log 1
2
a
，则 a的取值范围是
1
(0, )
2
C. 为了得到函数
2
log 1y x 
的图象，可将函数
2
logy x
图象上所有点的纵坐标缩短
为原来的
1
2
，横坐标不变，再向右平移 1个单位长度
D. 设
1
x
满足
ln 2x x 
，
2
x
满足
ln(1 ) 1x x  
，则
1 2 1x x 
11．如图，在正四棱柱
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，
1
AA AB
，点 E，F，G分别是
1
, ,BC CD CC
的
中点，点 M是线段
1
A D
上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在 M，使得
/ /AM
平面
EFG
B．当
1
时，存在 M，使得
CM
平面
EFG
C．存在 M，使得平面
1/ /MBC
平面
EFG
D．存在
，使得平面
1
MB C
平面
EFG
12．已知数列
{ }
n
a
，
1( 1)n
n n n
b a a
 
，则（ ）
A．当
n
a n
时，数列
2
{ }
n
b
是公差为 2的等差数列
B．当
n
a n
时，数列
{ }
n
b
的前 16 项和为 160
C．当
n
b n
时，数列
{ }
n
a
前16 项和等于 72
D．当
n
b n
时，数列
{ }
n
a
的项数为偶数时，偶数项的和大于奇数项的和
三、填空题：本题 4个小题，每个小题 5分，共 20 分.
13．若向量
,a b
 
满足
 
1,1a
，
1b
，且
a
在
b
上的投影向量为
b
，则
 
a b b  
 
.
14．已知数列
{ }
n
a
满足
4 7 5 6
+ 2, 8a a a a  
，若
{ }
n
a
是等差数列，则
1 10
a a
；
若
{ }
n
a
是等比数列，则
1 10
a a 
.
15. 如图，圆
O
与
x
轴的正半轴的交点为 A，点 B，C在圆
O
上，且
点
C
位于第一象限，点 B的坐标为
，
AOC
 
.
若
1BC
，则
23
3 cos sin cos
2 2 2 2
 
 
的值为 ．
16. 已知椭圆
2 2
2 2
: 1( 0)
x y
C a b
a b
 
的左顶点 A，左焦点 F，过 C的
右焦点做
x
轴的垂线，P为垂线上一点，当椭圆 C的离心率为
1
5
时，
sin APF
最大值为 .
{#{QQABIYIUogigAAAAARhCUQE6CEEQkBGCAIoGAAAEoAABwRNABAA=}#}
试卷第 3页，共 8页
四、解答题：共 70 分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 10 分）
已知双曲线 C的实轴长为 4，且与双曲线
2 2
1
2 3
x y
 
有公共的焦点．
（1）求双曲线 C的方程；
（2）已知
(5,0)M
，P是双曲线 C上的任意一点，求
PM
的最小值．
{#{QQABIYIUogigAAAAARhCUQE6CEEQkBGCAIoGAAAEoAABwRNABAA=}#}
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