黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试 数学 含答案

3.0 envi 2025-01-03 5 4 541.53KB 7 页 3知币
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哈师大附中 2023—2024 学年度高二上学期期末考试
数学试题
一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．从 1,2,3,4,5 这5个数中任取 2个，则这 2个数字之积大于 5的概率为（）
A．B．C．D．
2．各项均为正数的等比数列 前 项和为 ，且 成等差数列，若 ，则 （）
A．15 B．C． 或 15 D． 或
3．进入 8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为 24
小时内最高气温将升至 37 摄氏度以上），在今后的 3天中，每一天最高气温在 37 摄氏度以上的概率
是.用计算机生成了 20 组随机数，结果如下:
116785812730134452125689024169334217109361908284044147318027
若用 0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用 6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的 3天中恰
有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）
A．B．C．D．
4．一组数据 的均值为 ，第 25 百分位数为 ，方差为 ，则（）
A． B．
C．数据 的均值为 D．数据 的方差为
5．双曲线 ： 的渐近线与圆 相切，则 的离心率为（）
A．B．2 C．D．4
6．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则使得不等式 成立的最大的 的值
为（）
A．B．C．D．
7．已知点 是抛物线 上的一点，若以抛物线的焦点 为圆心，以 为半径的圆交
抛物线的准线于 两点， ，当 的面积为 时， 的值为（）
A．2 B．C．4 D．
8．已知数列 满足 ， ，且 ，若 ，数列 的前
项和为 ，则 （）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．已知双曲线 ： 的实轴长是虚轴长的 3倍，则下列关于双曲线 的说法正确的是（）
A．实轴长为 6B．虚轴长为 2C．焦距为 D．离心率为
10．下列说法正确的是（）
A．“ ”是“直线 与直线 互相平行”的充要条件
B．已知点 ， ，直线 过 且与线段 相交，则其倾斜角的范围是
C．圆 ： 与 ： 恰有四条公切线，则
D．圆 上有且仅有 2个点到直线 ： 的距离等于
11．记 为数列 的前 n项和， 为数列 的前 n项积， 已知 ,则（）
A． B． C．D．数列 是等差数列
12．双曲线 的左、右焦点分别为 ， 与有公共焦点的椭圆在第一象限
的交点为 ，双曲线和椭圆的离心率分别为 的内切圆的圆心为 ，
的面积分别是 ,过 作直线 的垂线，垂足为 ，则（）
A．I到y轴的距离为 aB．点 的轨迹是双曲线
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．某高中学生总人数为 1000 人，其中高三人数为 300 人，现采用按比例分配的分层抽样方法从全校
学生中抽取 20 人参加一项活动，则高一与高二参加活动的总人数为.
14．已知动点 在椭圆 上，过点 P作圆 的切线，切点为 M，则 的最
小值是.
15．已知抛物线 的焦点为 ，第一象限的 两点在抛物线上，且满足 ，
．若线段 中点的纵坐标为 4，则抛物线的方程为.
16．已知数列{ }满足 ，若对任意正整数 都有 恒成立，则实
数k的取值范围是.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 10 分）已知数列 的首项为 3，且满足 .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
18．（本小题满分 12 分）过点 作直线 与抛物线 相交于 两点.
(1)若直线 的斜率是 1，求弦 的长度；
(2)若 ，求直线 的方程．
19．（本小题满分 12 分）已知 为等差数列， 是公比为正数的等比数列， ，
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 n项和 ．
20．（本小题满分 12 分）某学校后勤服务中心为监控学校
食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量
抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查 50 名就餐的
教师和学生，请他们为食堂服务质量进行评分，师生根据自
己的感受从0到100 分选取一个分数打分，根据这 50 名师生
对食堂服务质量的评分绘制频率分布直方图．下图是根据本
学期第二次抽样调查师生打分结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），
[50，60），…，[90，100]．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的众数；
(2)学校规定：师生对食堂服务质量的评分平均分不得低于75 分，否则将进行内部整顿．用每组数据的
中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行
内部整顿；
(3)学校每周都会随机抽取 3名学生和校长共进午餐，每次校长都会通过这 3名学生了解食堂服务质量，
校长的做法是让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者“没有出现好
评”，校长会立即责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务情况．若以本次抽取的 50 名学生样本频率分
布直方图作为总体估计的依据，并假定学生评分在[40，60）之间的会给“差评”，评分在[60，80）之
间的会给“中评”，评分在[80，100]之间的会给“好评”，已知本周和校长共进午餐的 3名学生都会
根据自己的感受独立地作答，不会受到另外两人的影响，试估计本周校长会责成后勤分管副校长亲自
检查食堂服务质量的概率．
21．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，圆 ： ， ，P是圆 上
的一个动点，线段 的垂直平分线 l与直线 交于点 M．记点 M的轨迹为曲线 C．
(1)求曲线 C的方程；
(2)过点 作与 x轴不垂直的任意直线交曲线 C于A,B两点，线段 AB 的垂直平分线交 x轴于点 H，求
证： 为定值．
22．（本小题满分 12 分）椭圆 与双曲线 有相同的焦点，且过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为 A,B,设为直线 上
不同于点 的任意一点，连接线段 交椭圆于点 ，连接线段
并延长交椭圆于点 .
（i）证明：点 B在以 为直径的圆内；
（ii）求四边形 面积的最大值．
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