黑龙江省大庆铁人中学2023-2024学年高一下学期期中考试 数学答案

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铁人中学 2023 级高一下学期期中考试
数学答案
1．C 2．D 3．D 4．D 5．B 6．C 7．B 8．A
9．BC 10．AC 11．BC 12．AD
13．1 14．
4
3a
15．
720 2
16．6
17．（1）设
 
,B m n
，则
 
2, 1AB m n 
因为向量
AB a
，所以
 
2 2 1 0m n  
又
5AB
，所以
解得
3
3
m
n
 
或
1
1
m
n
，所以
B
的坐标为
 
3, 3
或
 
1,1
（2）设两个平行截面圆的半径分别为
1
r
，
2
r
，球半径为 R，则由
2
15r
 
，得
15r
，
由
2
28r
 
，得
22 2r
，
如图①，当两个截面位于球心 O的同侧时，有
2 2 2 2
1 2 1R r R r   
，即
2 2
5 1 8R R  
，解得
3R
，
如图②，当两个截面位于球心 O的异侧时，有
2 2
5 8 1R R 
，此方程无解．
综上，球的半径是 3.
18（1）解：由
2
2 sin 2
A
c b c 
，可得
2
sin 2 2
A c b
c
，所以
1 cos
2 2
A c b
c
 
，
即
1 cos 1
2 2 2 2
A b
c
 
，所以
cos b
Ac
，
又由余弦定理得
2 2 2
2
b c a b
bc c
 
，可得
2 2 2
 a b c
，所以
π
2
C
，
所以
ABC
是直角三角形
（2）解：由（1）知，
ABC
是直角三角形，且
1c
，可得
sin , cosa A b A 
，
所以
ABC
周长为
π
1 sin cos 1 2 sin 4
A A A
 
 
 
 
，
因为
π
0, 2
A 
 
 
，可得
π π 3π
,
4 4 4
A 
  
 
，
所以，当
4
A
时，即
ABC
为等腰直角三角形，周长有最大值为
2 1
.
19．（1）在直四棱柱
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，底面
ABCD
为正方形，
所以
1
AA
平面
ABCD
，
所以
1 1 3 1 2 2 1
3 3 2 2
A BDE E ABD ABD
V V AE S
 
  
.
（2）当
P
为
1
DD
的中点时满足平面
1//PAC
平面
EBD
，
设
AC BD O
，连接
OE
，
因为
ABCD
为正方形，所以
O
为
AC
的中点，又
E
为棱
1
AA
的中点，
答案第 2页，共 4页
所以
1
//OE A C
，又
OE
平面
1
PA C
，
1
AC
平面
1
PA C
，所以
//OE
平面
1
PA C
，
又
P
为
1
DD
的中点，所以
1
//DP A E
且
1
DP A E
，所以
1
DPA E
为平行四边形，
所以
1
//DE A P
，
又
DE
平面
1
PA C
，
1
A P
平面
1
PA C
，所以
//DE
平面
1
PA C
，
又
DE OE E 
，
,DE OE
平面
BDE
，
所以平面
1//PAC
平面
EBD
.
20．（1）由已知在
BCD△
中，
π
6
CBD 
，
2π
3
BDC 
，
100BD
，
所以
2π π π
π3 6 6
BCD  
，则
BCD△
为等腰三角形，
则
100BD DC 
，
在
ABD△
中，
100BD
，
π
4
ABD 
，
3π
4
ADC 
，
则
2π 3π 7π 7π
2π , π
3 4 12
π π
12 4 6
ADB BAD     
，
由正弦定理
sin sin
BD AD
BAD ABD
 
，即
100
12
22
AD
，解得
100 2AD
，
在
ACD
中，
3π
100, 4
DC ADC 
，
100 2AD
，
由余弦定理
 
222
100 2 100 2 100 2 100 100 5
2
AC  
 
 
 
 
，
即A，C两处景点之间的距离为
100 5
；
（2）在
BCD△
中，
2 2 1
100 100 2 100 100 100 3
2
BC  
    
 
 
，
在
ABD△
中，因为
7π
12
ADB 
，
所以
7π π π 2 6
sin sin sin
12 4 3 4
ADB
 
 
 
 
，
由正弦定理
sin sin sin
BD AD AB
BAD ABD ADB
 

，
即
100
12 6
24
AB
，得
 
50 2 6AB  
，
所以
 
BD AC BD BC BA BD BC BD BA    
     
 
3 2
100 100 3 100 50 2 6 100 150 100 50 1 3 0
2 2
    
，
即栈道 BD 所在直线与 A，C两处景点的连线不垂直.
21．（1）因为
 
2π
2 3sin cos 2cos 3sin2 cos2 1 2sin 2 1
6
f x x x x x x x
 
 
 
 
，
所以
 
f x
的最小正周期为
π
；
令
π π π
2 π 2 2 π
2 6 2
k x k   
，则
 
π π
π π
6 3
k x k k Z
，
所以
 
f x
的单调增区间为
 
π π
π , π
6 3
k k k
 
 
 
Z
.
（2）
 
f x
的图象向左平移
π
12
个单位长度得到
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