黑龙江省大庆铁人中学2023-2024学年高二下学期开学考试 数学 答案

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大庆铁人中学 2022 级高二下学期开学考试
数学试题答案
一、单选题：
1.圆
C:x2+y2−4x+2y − 4=0
的圆心与半径分别为()
A.
C(−2,1)
，
r=3
B.
C(−2,1)
，
r=9
C.
C(2,− 1)
，
r=3
D.
，
r=9
【答案】C
解：圆
C
的方程可化为
¿
，可知圆心为
C(2,− 1)
，半径为
r=3
．
故选 C．
2.已知直线
x+ay −1=0
与直线
(a − 1)x+ay+1=0
平行，则实数
a
的值是
()
A.
2
或
0
B.
2
C.
0
D.
−2
【答案】B
解：当
a=0
时，两直线都为
x=1
，重合，故舍去；
当
a ≠ 0
时，由两直线平行，得到
−1
a=−a −1
a
，解得
a=2
，
经检验，两直线不重合，成立，
综上，实数
a
的值是
2
．
故选 B．
3.已知正四面体
ABCD
的棱长为
a
，点
E
，
F
分别是
BC
，
AD
的中点，则
⃗
AE ⋅
⃗
AF
的值为()
A.
a2
B.
1
2a2
C.
1
4a2
D.
√
3
4a2
【答案】C
解：如图所示，在正四面体
ABCD
中，点
E
，
F
分别是
BC
，
AD
的中点，
AF
⃗
=1
2AD
⃗
，
⃗
AE=1
2(
⃗
AB+
⃗
AC)
，
∴AE
⃗
⋅AF
⃗
=1
4(AD
⃗
⋅AB
⃗
+AD
⃗
⋅AC
⃗
)= 1
4(a2cos 60 °+a2cos 60 °)= 1
4a2
．
4.已知
{an}
是等比数列，
{bn}
是等差数列，
a2=2
，
a5=1
4
，公比
q
等于公差
d
，
b1=2
，则
b3
为()
A.
−1
2
B.
−2
C.
3
D.
【答案】C
解：
∵{an}
是等比数列，
a2=2
，
a5=1
4
，
设等比数列的公比是
q
，
∴a5=a1⋅q4
，
a2=a1q
∴q=1
2
，
∴d=1
2
，
b3=b1+2d=3.
故选：
C
．
5.设椭圆
C:x2
a2+y2
b2=1
(
a>b>0
)
的左右焦点分别为
F1
、
F2
，
P
是
C
上一点，
P F2⊥F1F2,∠P F1F2=300
，则
C
的离心率为
()
A.
√
6
6
B.
1
3
C.
1
2
D.
√
3
3
【答案】D
解：
¿P F2∨¿x
，
∵P F2⊥F1F2
，
∠P F1F2=30 °
，
∴∨P F1∨¿2x
，
¿F1F2∨¿
√
3x
，
又
¿P F1∨+¿P F2∨¿2a
，
¿F1F2∨¿2c
∴2a=3x
，
2c=
√
3x
，
∴C
的离心率为：
e=2c
2a=
√
3
3
．
故选 D．
6.数列
{an}
，
{bn}
满足
an⋅bn=1
，
an=n2+3n+2
，则
{bn}
的前
10
项之和等于
()
A.
1
3
B.
5
12
C.
1
2
D.
7
12
【答案】B
【解答】
解：
∵an⋅bn=1
，
∴bn=1
n2+3n+2=1
(
n+1
) (
n+2
)
∴S10=1
2×3+1
3×4+...+1
10 ×11 +1
11×12
¿(1
2−1
3)+( 1
3−1
4)+...+( 1
10 −1
11)+( 1
11 −1
12 )
¿1
2−1
12 =5
12
，
故选 B．
7.若双曲线
x2
a2−y2
b2=1(a>0, b>0)
与直线
3x+y=0
没有交点，则双曲线离心率
的取值范围为
()
A.
(0,
√
10)
B.
(1,
√
10)
C.
¿
D.
(
√
10 ,+∞)
【答案】C
解：
∵
双曲线的一条渐近线为
y=−b
ax
，
直线
3x+y=0
可化为
y=−3x
，
由题意可得
−b
a⩾−3
，即
b
a⩽3
，
又
∵b
a=
√
b2
a2=
√
c2− a2
a2=
√
e2−1⩽3
，
∴−
√
10⩽e⩽
√
10
，
又
∵
双曲线离心率
e>1
，
∴
双曲线离心率
e∈¿
．
故选 C．
8.如图，过拋物线
y2=2px(p>0)
的焦点
F
的直线与拋物线交于
A , B
两点，与其
准线
l
交于点
C¿
点
B
位于
A , C
之间
¿
且
CB
⃗
=3BF
⃗
, AD ⊥l
于点
D
且
|
AD
|
=4
，则
|
OF
|
等于
()
A.
2
3
B.
4
3
C.
8
3
D.
16
3
【答案】B
解：设
BE⊥l
于点
E
，准线
l
交
x
轴于点
G
，
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