黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高二下学期期中考试 数学 含解析

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大庆实验中学实验二部 2022 级高（二）下学期期中考试
数学试题
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分）
1．数据 6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1 的第 50 百分位数为
A．8.4 B．8.5 C．8.6 D．8.7
2．哈尔滨的冰雪旅游在冬季吸引了大量游客，在 2023 年度，哈尔滨市共接待总游客量达
到1.35 亿人次，同比增长 145.78%，比 2019 年增长 41.4%.甲、乙、丙三人从冰雪大世界、太
阳岛和中央大街三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲去过冰雪大世界，所以甲不选冰雪
大世界，则不同的选法有
A．12 B．16 C．18 D．24
3．已知二项式 （其中 且 ）的展开式中含 与 的项的系数相等，则
的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，下列正确的是

A．B．
C．D．
5．从
1,2 ,⋯,9
这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为
A．B．C．D．
6．《Rhind Papyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给
出答案：把 600 个面包分给 5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较多的三份之和的
是较少的两份之和，则最少的一份为
A．5 B．10 C．11 D．55
7．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共 10 张券，客户从中任意抽取
2张，若至少抽中 1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加 1次抽奖活动，
一个月（30 天）下来，发现自己共中奖 11 次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有
A．1张B．2张C．3张D．4张
8．我校举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育
老师安排了为期一周的对抗训练，训练规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打 2局，当
两人获胜局数不少于 3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率
分别为 ， ，且满足 ，每局之间相互独立.记甲、乙在 轮训练中训练过关的轮
数为 ，若 ，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为
A．27 B．24 C．32 D．28
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分）
9．若 ，则下列正确的是
A． B．
C． D．
10．已知抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴交于点 ，过 的直线 与抛物线
相交于 两点，点 是点 关于 轴的对称点，则下列说法正确的是
A．B． 的最小值为 10C． 三点共线 D．
11．在信道内传输 信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字
母不变的概率为 ，收到其他两个信号的概率均为 ．若输入四个相同的信号
的概率分别为 ，且 ．记事件 分别表示
“输入 ”“输入 ”“输入 ”，事件 表示“依次输出”，则
A．若输入信号，则输出的信号只有两个 的概率为
B．C．D．
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分）
12．已知随机变量服从正态分布， ， ．
13．已知函数 ，若方程 有三个不同的实根，则实数 的取值
范围是 .
14．马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为：假设序列状态是…， ，
， ， ，…，那么 时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 ，即
．著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进
入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为 ，每局赌赢可以赢得1金币，赌输
就要输掉 1金币．赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了
手中金币；二是手中金币达到预期的 1000 金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博．记赌徒
的本金为70 金币，求赌徒输光所有金币的概率_______.
四、填空题（本题共 5小题，共 77 分）
15．（13 分）
工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的 ，
， ，并且各车间的次品率依次为 ， ， .现从该厂这批产品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少？
16.（15 分）
记 ， 分别为数列 ， 的前 项和， ， ， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设，记 的前 项和为 ，若对任意 ， ，求整数
的最小值．
17.（15 分）
一批产品共10 件，其中 件是不合格品，从中随机抽取 2件产品进行检
验，记抽取的不合格产品数为 .若先随机抽取 1件，放回后再随机抽取 1件，当抽到不合格产
品数 时，概率为 .
（1）求的值；
（2）若一次性随机抽取 2件，求抽到不合格产品数 的分布列及数学期望.
18.（17 分）
悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，
悬链线可为双曲余弦函数 的图象，定义双曲正弦函数.类比三角
函数的性质：①平方关系： ，②导数关系： ．
(1)直接写出，具有的类似①、②的性质（不需要证明）；
(2)证明：当 时， ；
(3)求的最小值．
19.（17 分）
已知椭圆 ： ，A， 分别为椭圆 的左顶点和右焦点，过 做斜率
不为 0的直线 交椭圆 于点 P,Q 两点,且.当直线 轴时， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 AP,AQ 的斜率分别为 ， ，问 是否为定值？
并证明你的结论；
(3)直线 AP 交y轴于点 E．若过 O点作直线 AP 的平行线
OM 交椭圆 C于点 M，求
AP+AE
OM
的最小值．
一、单选题
1．数据 6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1 的50 百分位数为（）
A．8.4 B．8.5 C．8.6 D．8.7
【答案】B
【分析】
根据给定条件，利用第50 百分位数的定义计算即得.
【详解】依题意，一组数据的第 50 百分位数即为该组数据的中位数，
所以数据 6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1 的第 50 百分位数为 .
故选：B
2．哈尔滨的冰雪旅游在冬季吸引了大量游客，在 2023 年度，哈尔滨市共接待总游客
量达到 1.35 亿人次，同比增长 145.78%，比 2019 年增长 41.4%.甲、乙、丙三人从冰雪
大世界、太阳岛和中央大街三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲去过冰雪大世界，所以
甲不选冰雪大世界，则不同的选法有（）
A．12 B．16 C．18 D．24
【答案】C
【分析】根据分步计数原理，结合题意，直接计算即可.
【详解】根据题意，甲有 种选择，乙、丙都有 种选择，
故所有的选法有： 种.
故选：C.
3．已知二项式 （其中 且 ）的展开式中 与 的系数相等，则 的值为
（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】
利用二项式定理的通项公式建立等量关系可求答案.
【详解】因为 且 ，由题意知 ，
得 ，求得 ，
故选： .
4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，下列结论正确的是
（）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据散点图分析出样本的相关关系即可.
【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，
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